Зірка Годжа

Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір (n—q)-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q-форм і q-векторів, тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q.

$*:{\mathrm{\Lambda }}^q(T^{*}M)\to {\mathrm{\Lambda }}^{n-q}(T^{*}M)$

Цей оператор був введений Вільямом Годжем.

Означення

Оператор дуальності - оператор на многовиді $M^n$ розмірності $n$ у присутності метрики $g_{ij},$ який визначається рівністю

$(*T{)}_{i_{k+1}...i_n}=\frac{1}{k!}\sqrt{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(g_{ij})}{\epsilon }_{i_1...i_n}{T}^{i_1...i_k},$

де $T^{i_1...i_k}=g^{i_1{j}_1}...g^{i_k{j}_k}{T}_{j_1...j_k},$ компонента ${\epsilon }_{i_1...i_n}$ відмінна від нуля, якщо серед індексів $i_1,...,i_n$ немає повторюваних і тоді ${\epsilon }_{i_1...i_n}=+1,$ якщо $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(i_1,...,i_n)=1$ та -1, якщо $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(i_1,...,i_n)=-1.$ Оператор дуальності задає ізоморфізм простору кососиметричних тензорів типу $(0,k)$ на простір кососиметричних тензорів типу $(0,n-k).$ Іноді оператор дуальності називається оператором Ходжа або *-оператором.

Нехай $V$ - дійсний векторний простір. Метрика на $V$ індукує метрику на його тензорних просторах $g(x_1\otimes x_2\otimes ...\otimes x_k,x_{1^{\prime }}\otimes x_{2^{\prime }}\otimes ...\otimes x_{k^{\prime }})=g(x_1,x_{1^{\prime }})g(x_2,x_{2^{\prime }})...g(x_k,x_{k^{\prime }}).$ Це задає невироджений скалярний добуток на диференціальних формах на римановому многовиді:

$g(\alpha ,\beta ):=\underset{M}{\int }g(\alpha ,\beta ){\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}_M.$

Інша невироджена форма задається формулою $\alpha ,\beta \to \underset{M}{\int }\alpha \wedge \beta$ (зпарювання Пуанкаре).

Нехай $M$ - римановий n-вимірний многовид. Оператор Ходжа $*:{\mathrm{\Lambda }}^{k}M\to {\mathrm{\Lambda }}^{n-k}M$ визначається формулою

$g(\alpha ,\beta )=\underset{M}{\int }\alpha \wedge *\beta .$

У ортонормальному базисі ${\xi }_1,...,{\xi }_n\in {\mathrm{\Lambda }}^{1}M$ його можна задати на мономах

$*({\xi }_{i_1}\wedge {\xi }_{i_2}\wedge ...\wedge {\xi }_{i_k})=(-1{)}^s{\xi }_{j_1}\wedge {\xi }_{j_2}\wedge ...\wedge {\xi }_{j_{n-k}},$

де ${\xi }_{j_1},{\xi }_{j_2},...,{\xi }_{j_{n-k}}$ - додатковий набір ковекторів, а $s$ - сигнатура перестановки $(i_1,...,i_k,j_1,...,j_{n-k}).$

Зауваження: ${*}^2{|}_{{\mathrm{\Lambda }}^k(M)}=(-1{)}^{k(n-k)}{\mathrm{I}\mathrm{d}}_{{\mathrm{\Lambda }}^k(M)}.$

Допоміжні означення

Означимо форму об'єму

$\mathrm{\Omega }=f(X)d{X}^0\wedge \dots \wedge d{X}^{n-1}$

${\mathrm{\Omega }}_{M_1\dots M_n}=f(X){\epsilon }_{M_1\dots M_n}$

де $f(X):M\to ℝ$ — невід'ємний скаляр на многовиді $M$, а ${\epsilon }_{M_1\dots M_n}$ — символ Леві-Чивіти. ${\epsilon }_{0\dots n-1}=+1$. Навіть за відсутності метрики, якщо $f(X)>0$, можна визначити контраваріантні компоненти форми об'єму.

$\check{\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{f(X)}\frac{\partial }{\partial X^0}\wedge \cdots \wedge \frac{\partial }{\partial X^{n-1}}$

${\check{\mathrm{\Omega }}}^{M_1\dots M_n}=f^{-1}(X){\epsilon }^{M_1\dots M_n}$

тут антисиметричний символ ${\epsilon }^{M_1\dots M_n}$ збігається ${\epsilon }_{M_1\dots M_n}$.

У присутності метрики $\mathrm{\Omega }$ з піднятими індексами може відрізнятися від $\check{\mathrm{\Omega }}$ на знак: $\mathrm{\Omega }=\sigma \check{\mathrm{\Omega }}$. Тут і далі $\sigma =\mathrm{sgn}\det (g_{mk})$

Уведемо операцію антисиметризації:

$A_{[m_1\dots m_q]}=\frac{1}{q!}\sum _{\sigma (m_1\dots m_q)}(-1{)}^{\mathrm{sgn}(m_1\dots m_q)}{A}_{\sigma (m_1\dots m_q)}$. Підсумовування ведеться за всіма перестановками $\sigma (m_1\dots m_q)$ індексів, укладених в квадратні дужки, з урахуванням їх парності $\mathrm{sgn}(\sigma )$. Аналогічно визначається антисимметризація верхніх індексів; антисимметризувати можна тільки за групою індексів одного типу. Приклади: $A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-A_{kml})$; $A_k^{[l}{B}_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l{B}_p^m-A_k^m{B}_p^l)$.

Джерела

• David Bleecker (1981) Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. Шаблон:Isbn. Chpt. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry.
• Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag. Шаблон:Isbn. A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Gravitation. W.H. Freeman. Шаблон:Isbn. A basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional spacetime.
• Steven Rosenberg (1997) The Laplacian on a Riemannian manifold. Cambridge University Press. Шаблон:Isbn. An introduction to the heat equation and the Atiyah-Singer theorem.
• Tevian Dray (1999) The Hodge Dual Operator Шаблон:Webarchive. A thorough overview of the definition and properties of the Hodge star operator.