Еліптичні функції Веєрштрасса

Шаблон:UniboxЕліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса. Також їх називають $\mathrm{\wp }$-функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ $\mathrm{\wp }$ (стилізоване P).

Визначення

Нехай задана деяка ґратка $\mathrm{\Gamma }$ в $ℂ$. Тоді $\mathrm{\wp }$-функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}}(\frac{1}{(z-w{)}^2}-\frac{1}{w^2}).$

Можна побачити, що така функція буде $\mathrm{\Gamma }$-періодичною на $ℂ$, і тому є мероморфною функцією на $E$.

Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, $\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }}\frac{1}{(z-w{)}^2}$ — «наївної» спроби задати $\mathrm{\Gamma }$-періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на $\mathrm{\Gamma }$ має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як $\frac{1}{|w{|}^2}$, а сума $\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }}\frac{1}{|w{|}^2}$ по двовимірних ґратках $\mathrm{\Gamma }$ є розбіжною.

Варіанти визначення

Задаючи ґратку $\mathrm{\Gamma }$ її базисом $\mathrm{\Gamma }=\{m{\omega }_1+n{\omega }_2\mid m,n\in \mathbb{Z}\}$, можна записати

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}(\frac{1}{(z-m{\omega }_1-n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^2}).$

Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна $\mathrm{\wp }(az;a{\omega }_1,a{\omega }_2)=a^{-2}wp(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$, позначивши $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$, має місце рівність:

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)={\omega }_1^{-2}\mathrm{\wp }(z/{\omega }_1;1,\tau ).$

Тому розглядають

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\mathrm{\wp }(z;1,\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}(\frac{1}{(z-m-n\tau {)}^2}-\frac{1}{(m+n\tau {)}^2}).$

Властивості

• Функція Веєрштрасса ${\mathrm{\wp }}_E:E\mapsto \widehat{ℂ}$ — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
• Скориставшись розкладом $\frac{1}{(w-z{)}^2}=\frac{1}{w^2}+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{j+1}{w^{j+2}}{z}^j$ і посумувавши по $w\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}$, можна одержати розклад в точці $z=0$ функції Веєрштрасса в ряд Лорана:

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k}(\mathrm{\Gamma })z^{2k-2},$ де $G_{2k}(\mathrm{\Gamma })=\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}}{w}^{-2k}$  — ряди Ейзенштейна для ґратки $\mathrm{\Gamma }$ (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при $z^2$ і $z^4$ часто записують в іншій, традиційній формі:

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{20}{g}_2(\mathrm{\Gamma })z^2+\frac{1}{28}{g}_3(\mathrm{\Gamma })z^4+\dots ,$

де $g_2$ і $g_3$ — модулярні інваріанти ґратки $\mathrm{\Gamma }$:

$g_2(\mathrm{\Gamma })=60G_4(\mathrm{\Gamma }),g_3(\mathrm{\Gamma })=140G_6(\mathrm{\Gamma }).$

Диференціальні і інтегральні рівняння

Диференціальні рівняння

З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:

$[{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){]}^2=4[\mathrm{\wp }(z){]}^3-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3,$.

Інтегральні рівняння

Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай

$u=\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_{2}s-g_3}}.$

де g₂ і g₃ приймаються константами. Тоді

$y=\mathrm{\wp }(u).$

Модулярний дискримінант

Дійсна частина дискримінанта як функція від $q=e^{\pi i\tau }$ на одиничному крузі

Модулярний дискримінант $\mathrm{\Delta }$ еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище: $$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2.$$

Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом $$\mathrm{\Delta }\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)={(c\tau +d)}^{12}\mathrm{\Delta }(\tau )$$ де $a,b,d,c\in \mathbb{Z}$ такі, що $ad-bc=1$.

Справедлива рівність $\mathrm{\Delta }=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}$, де $\eta$ позначає Шаблон:Не перекладено.

Коефіцієнти Фур'є розкладу $\mathrm{\Delta }$ в ряд по степенях $q=e^{\pi i\tau }$ визначаються через Шаблон:Не перекладено.

Додаткові властивості

Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(z)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)& 1\\ \mathrm{\wp }(y)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)& 1\\ \mathrm{\wp }(z+y)& -{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+y)& 1\end{array}\right]=0$

(або в більш симетричній формі

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(u)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(u)& 1\\ \mathrm{\wp }(v)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(v)& 1\\ \mathrm{\wp }(w)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(w)& 1\end{array}\right]=0$

де $u+v+w=0$).

Також

$\mathrm{\wp }(z+y)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)}{\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)}\right\}}^2-\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y).$

і

$\mathrm{\wp }(2z)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{″}(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}\right\}}^2-2\mathrm{\wp }(z),$

якщо $2z$ не є періодом.

Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса

Будь-яка еліптична функція з періодами $a$ і $b$ може бути представлена у вигляді $f(z)=h(\mathrm{\wp }(z))+g(\mathrm{\wp }(z)){\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ де h, g — раціональні функції, $\mathrm{\wp }(z)$ — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у $f(z)$. Якщо при цьому $f(z)$ є парною функцією, то її можна представити у вигляді $f(z)=h(\mathrm{\wp }(z))$, де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами $a$ і $b$ є скінченним розширенням поля $ℂ$ комплексних чисел, з породжуючими елементами $\mathrm{\wp }(z)$ і $\mathrm{\wp }\text{'}(z)$.

Див. також

• Еліптична функція
• Еліптична крива
• Еліптичні функції Якобі
• Ряди Ейзенштейна

Література

1. K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
2. Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6