p-адичний аналіз

3-адичні цілі числа з вибраними відповідними символами на їхній дуальній групі Понтрягіна

Шаблон:Mvar-Адичний аналіз — розділ теорії чисел, який займається математичним аналізом функцій [[P-адичне число|Шаблон:Mvar-адичних чисел]].

Теорія комплекснозначних числових функцій на Шаблон:Mvar-адичних числах є частиною теорії локально компактних груп. Зазвичай під Шаблон:Mvar-адичним аналізом розуміють теорію Шаблон:Mvar-адичнозначних функцій на цікавих просторах.

Застосовують Шаблон:Mvar-адичний аналіз переважно в теорії чисел, де він відіграє значну роль у діофантовій геометрії та діофантовій апроксимації. Деякі застосування вимагали розробки Шаблон:Mvar-адичного функціонального аналізу та спектральної теорії. Багато в чому Шаблон:Mvar-адичний аналіз є менш витонченим, ніж класичний аналіз, оскільки ультраметрична нерівність означає, наприклад, що збіжність нескінченних рядів Шаблон:Mvar-адичних чисел значно простіша. Топологічні векторні простори над Шаблон:Mvar-адичними полями демонструють відмінні риси; наприклад, аспекти, що стосуються опуклості та теореми Гана — Банаха, відрізняються.

Важливі результати

Теорема Островського

Теорема Островського, яку сформулював Олександр Островський (1916), стверджує, що кожне нетривіальне абсолютне значення раціональних чисел Q еквівалентне або звичайному дійсному абсолютному значенню, або [[P-адичне число|Шаблон:Mvar-адичному]] абсолютному значенню.

Теорема Малера

Теорема Малера, яку сформулював Курт Малер, виражає неперервні Шаблон:Mvar-адичні функції через многочлени.

У будь-якому полі характеристики 0 можна отримати такий результат. Нехай

$(\mathrm{\Delta }f)(x)=f(x+1)-f(x)$

- це оператор прямої різниці. Тоді для поліноміальних функцій f маємо ряд Ньютона:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{\Delta }}^{k}f)(0)(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}),$

де

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}$

є k-м поліномом біноміального коефіцієнта.

Над полем дійсних чисел припущення про те, що функція f є многочленом, можна послабити, але його не можна послабити аж до простої неперервності.

Малер довів такий результат:

Теорема Малера: якщо f — неперервна [[P-адичне число|Шаблон:Mvar-адична]] функція на Шаблон:Mvar-адичних цілих числах, то виконується та сама тотожність.

Лема Гензеля

Лема Гензеля, також відома як лема Гензеля про підняття, названа на честь Курта Гензеля, є результатом модульної арифметики, який стверджує, що, якщо поліноміальне рівняння має простий корінь за модулем простого числа Шаблон:Math, то цей корінь відповідає унікальному кореню того самого рівняння за модулем будь-якого більшого степеня Шаблон:Math, який можна знайти ітераційним Шаблон:Нп розв'язку за модулем послідовних степенів Шаблон:Math. Загальніше, його використовують як загальну назву для аналогів для повних комутативних кілець (зокрема, [[P-адичне число|Шаблон:Mvar-адичних полів]]) методу Ньютона для розв'язування рівнянь. Оскільки Шаблон:Mvar-адичний аналіз певною мірою простіший від дійсночисельного аналізу, існують відносно прості критерії, що гарантують корінь многочлена.

Для формулювання результату, нехай $f(x)$ — многочлен із цілими (або Шаблон:Mvar-адичними цілими) коефіцієнтами, і нехай m, k — натуральні числа, такі що m ≤ k. Якщо r таке ціле число, що

$f(r)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^k)$ і $f^{\prime }(r)\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)$

то існує таке ціле s, що

$f(s)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^{k+m})$ і $r\equiv s(\mathrm{mod}{p}^k).$

Крім того, це s є унікальним за модулем p^{k +m} і може бути обчислене явно як

$s=r+t{p}^k$ де $t=-\frac{f(r)}{p^k}\cdot (f^{\prime }(r{)}^{-1}).$

Застосування

Шаблон:Mvar-Адична квантова механіка

Шаблон:Mvar-Адична квантова механіка — це відносно новий підхід до розуміння природи фундаментальної фізики. Це застосування Шаблон:Mvar-адичного аналізу до квантової механіки. Існують сотні наукових статей із цієї теми, зокрема й у міжнародних журналах.

Є два основних підходи до предмету. Перший розглядає частинки в Шаблон:Mvar-адичній потенціальній ямі, і метою є пошук розв'язків із плавно змінними комплекснозначними хвильовими функціями. Тут розв'язки достатньо наочні. Другий розглядає частинки в Шаблон:Mvar-адичних потенціальних ямах, і мета полягає в тому, щоб знайти Шаблон:Mvar-адичнозначні хвильові функції. У цьому випадку фізична інтерпретація складніша.

Локально–глобальний принцип

Локально-глобальний принцип Гельмута Гассе, також відомий як принцип Гассе, полягає в тому, що можна знайти цілочисельний розв'язок рівняння, використовуючи китайську теорему про остачі, щоб об'єднати розв'язки за модулем степенів кожного відмінного простого числа. Для цього досліджується рівняння в поповненнях раціональних чисел: дійсних числах і [[P-адичне число|Шаблон:Mvar-адичних числах]]. Формальніша версія принципу Гассе стверджує, що певні типи рівнянь мають раціональний розв'язок тоді й лише тоді, коли вони мають розв'язок у дійсних числах і в Шаблон:Mvar-адичних числах для кожного простого Шаблон:Mvar.

Див. також

• [[P-адичне число|Шаблон:Mvar-адичне число]]
• Локально компактний простір
• Аналіз функцій дійсної змінної
• Комплексний аналіз
• Гармонічний аналіз

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal (preprint)
• A course in p-adic analysis, Alain Robert, Springer, 2000, Шаблон:ISBN
• Ultrametric Calculus: An Introduction to P-Adic Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, Шаблон:ISBN
• P-adic Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, Шаблон:ISBN