Теорема Гана — Банаха

Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.

Формулювання

Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція $f:X\to ℝ$ називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:

$f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)$  для довільних $\gamma \in {ℝ}_{+}$ та x ∈ X,

$f(x+y)⩽f(x)+f(y)$  для довільних x, y ∈ X.

Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо $p:X\to ℝ$ є сублінійною функцією, і $\phi :Y\to ℝ$ є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:

$\phi (x)⩽p(x)\mathrm{\forall }x\in Y$

тоді існує продовження $\psi :X\to ℝ$ для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий, що

$\psi (x)=\phi (x)\mathrm{\forall }x\in Y$

і

$\psi (x)⩽p(x)\mathrm{\forall }x\in X.$

Доведення

Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай $z\in X\setminus Y$. Розглянемо лінійний простір виду:

$Y_z\doteq \{y+az,y\in Y,a\in ℝ\}.$

Продовження $\phi$ на $Y_z$ запишемо:

$\psi (y+az)\doteq \phi (y)+a\psi (z),$

де $\psi (z)$ — дійсне число, яке необхідно визначити.

Для довільних $y_1,y_2\in Y$ і $a,b>0$ виконується:

$\phi (a{y}_1+b{y}_2)=a\phi (y_1)+b\phi (y_2)=(a+b)\phi (\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2)⩽$

$(a+b)p(\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2)=$

$(a+b)p(\frac{a}{a+b}(y_1-bz)+\frac{b}{a+b}(y_2+az))⩽$

$ap(y_1-bz)+bp(y_2+az).$

Звідси

$a(\phi (y_1)-p(y_1-bz))⩽b(-\phi (y_2)+p(y_2+az))$

Як наслідок

$\frac{1}{b}(-p(y_1-bz)+\phi (y_1))⩽\frac{1}{a}(p(y_2+az)-\phi (y_2))\mathrm{\forall }{y}_1,y_2\in Y,\mathrm{\forall }a,b>0.$

Визначимо $c\in ℝ$ так:

$\underset{a>0,y\in Y}{\sup }\left\{\frac{1}{b}[-p(y-bz)+\phi (y)]\right\}⩽c⩽\underset{a>0,y\in Y}{\inf }\left\{\frac{1}{a}[p(y+az)-\phi (y)]\right\}.$

Виконується рівність

$ac⩽p(y+az)-f(y)\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\forall }a\in ℝ$.

Визначимо

$\psi (z)=c.$

Для всіх $y\in Y$ і довільних $a\in ℝ$ справджується нерівність:

$\psi (y+az)=\phi (y)+ac⩽p(y+az),$

тому

$\psi (x)⩽p(x)\mathrm{\forall }x\in Y_z.$

Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження, скориставшись щойно визначеною конструкцією.

Наслідки

• Якщо $X$ є нормованим простором, $M$ є його підпростором і $x^{*}\in M^{*}$ є деяким функціоналом на $M$, тоді існує $y^{*}\in X^{*}$ такий, що:

$y^{*}{|}_M=x^{*}$ і також $\Vert x^{*}\Vert =\Vert y^{*}\Vert$.

• Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.

Джерела

• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, ISBN 0387709134