Ферміонне поле

У квантовій теорії поля ферміонне поле — це квантове поле, чиї кванти є ферміонами, тобто вони підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Ферміонні поля підкоряються Шаблон:Iw, а не канонічним комутаційним відношенням бозонних полів.

Найвідомішим прикладом ферміонного поля є поле Дірака, яке описує ферміони зі спіном 1/2: електрони, протони, кварки тощо. Поле Дірака може бути описане як 4-компонентний спінор або як пара з 2-компонентних спінорів Вейля. Ферміони Майорани зі спіном 1/2, такі як гіпотетичний нейтраліно, можуть бути описані як залежний 4-компонентний Майоранів спінор або як одиничний 2-компонентний спінор Вейля. Невідомо, чи є нейтрино Майоранівським ферміоном чи Діраківським ферміоном; спостереження нейтрино-масового подвійного бета-розпаду експериментально вирішило б це питання.

Основні властивості

Вільні (невзаємодіючі) ферміонні поля підкоряються канонічним антикомутаційним відношенням, тобто містять антикомутатори {a, b} = ab + ba, а не комутатори [a, b] = ab − ba, які притаманні бозонним полям або стандартній квантовій механіці. Ці відношення також справедливі для взаємодіючих ферміонних полів в картині взаємодії, де поля еволюціонують у часі, ніби вони вільні, а ефекти взаємодії закодовані в еволюції станів.

Саме ці антикомутаційні відношення призводять до виконання статистики Фермі-Дірака для квантів поля. Вони також призводять до виконання принципу виключення Паулі: два ферміонних частинки не можуть займати один і той самий стан одночасно.

Поля Дірака

Визначним прикладом поля ферміонів із спіном 1/2 є поле Дірака (назване на честь Пола Дірака) та позначається як 𝜓(𝑥). Рівняння руху для вільної частинки із спіном 1/2 є рівнянням Дірака,

$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi (x)=0.$

де 𝛾𝜇 — гамма-матриці, а 𝑚 — маса. Найпростіші можливі розв'язки 𝜓(𝑥) для цього рівняння — це розв'язки плоскої хвилі, 𝑢(𝑝)𝑒^(-𝑖𝑝⋅𝑥) та 𝑣(𝑝)𝑒^(𝑖𝑝⋅𝑥). Ці розв'язки плоскої хвилі утворюють базис для Фур'є-компонент поля 𝜓(𝑥), що дозволяє загальний розклад хвильової функції на наступний спосіб:

${\psi }_{\alpha }(x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\sum _s(a_{𝐩}^s{u}_{\alpha }^s(p)e^{-ip\cdot x}+b_{𝐩}^{s†}{v}_{\alpha }^s(p)e^{ip\cdot x}).$

𝑢 та 𝑣 — спінори, позначені за допомогою індексів спіну s та спінорних індексів 𝛼, 𝛼 ∈ {0, 1, 2, 3}. Для електрона, частинки із спіном 1/2, s = +1/2 або s = −1/2. Фактор енергії є наслідком маючого інваріантного щодо Лоренців об'єму інтегрування. У вторинному квантуванні 𝜓(𝑥) перетворюється на оператор, тому коефіцієнти її фур'є-модів також повинні бути операторами. Отже, 𝑎_𝑝𝑠 та 𝑏_𝑝𝑠† є операторами. Властивості цих операторів можуть бути визначені з властивостей поля. 𝜓(𝑥) та 𝜓(𝑦)† задовольняють антикомутаційні відношення:

$\{{\psi }_{\alpha }(𝐱),{\psi }_{\beta }^{†}(𝐲)\}={\delta }^{(3)}(𝐱-𝐲){\delta }_{\alpha \beta }.$

Ми накладаємо відношення антикомутатора (на відміну від комутаційного співвідношення, яке ми накладаємо на Шаблон:Iw), щоб зробити оператори сумісними з статистикою Фермі-Дірака. Підставивши розклади для $\psi (x)$ і $\psi (y)$, можна обчислити антикомутаційні співвідношення для коефіцієнтів.

$\{a_{𝐩}^r,a_{𝐪}^{s†}\}=\{b_{𝐩}^r,b_{𝐪}^{s†}\}=(2\pi {)}^3{\delta }^3(𝐩-𝐪){\delta }^{rs},$

У схожий спосіб, як для нерелятивістських операторів анігіляції та створення та їх комутаторів, ці алгебри приводять до фізичної інтерпретації, що $a_{𝐩}^{s†}$створює ферміон з імпульсом p та спіном s, а$b_{𝐪}^{r†}$створює антиферміон з імпульсом q та спіном r. Загальне поле $\psi (x)$ тепер можна сприймати як зважену (енергетичним множником) сумування всіх можливих спінів та імпульсів для створення ферміонів та антиферміонів. Його спряжене поле,$\bar{\psi }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\psi }^{†}{\gamma }^0$, є протилежним, зваженням на сумування всіх можливих спінів та імпульсів для анігілювання ферміонів та антиферміонів.

З розумінням режимів поля та визначенням спряженого поля можливо побудувати Лоренц-інваріантні величини для ферміонних полів. Найпростішою є величина $\bar{\psi }\psi$ . Це пояснює причину вибору $\bar{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }^0$. Це тому, що загальний Лоренц-перетвір на $\psi$ не є унітарним, тому величина ${\psi }^{†}\psi$ не буде інваріантною відносно таких перетворень, отже включення ${\gamma }^0$ служить для корекції цього. Інша можлива ненульова Лоренц-коваріантна величина, з урахуванням загальної кон'югації, що побудована з ферміонних полів — це $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi$ .

Оскільки лінійні комбінації цих величин також є Лоренц-інваріантними, це природньо призводить до щільності лагранжіана для поля Дірака через вимогу, щоб рівняння Ейлера-Лагранжа системи відновлювало рівняння Дірака.

${ℒ}_D=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi$

Такий вираз містить пригнічені індекси. Коли повернути їх, отримаємо повний вираз

${ℒ}_D={\bar{\psi }}_a(i{\gamma }_{ab}^{\mu }{\partial }_{\mu }-m{𝕀}_{ab}){\psi }_b$

Гамільтоніан (енергійна) щільність також може бути сконструйована, спочатку визначивши канонічний імпульс, спряжений з $\psi (x)$, який називається $\mathrm{\Pi }(x):$

$\mathrm{\Pi }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{\partial {ℒ}_D}{\partial ({\partial }_0\psi )}=i{\psi }^{†}.$

З таким визначенням $\mathrm{\Pi }$, щільність гамільтоніану є:

${\mathscr{H}}_D=\bar{\psi }[-i\overrightarrow{\gamma }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}+m]\psi ,$

де $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ — стандартний градієнт просторовоподібних координат, а $\overrightarrow{\gamma }$ вектор просторових $\gamma$-матриць. Дивно, що густиня гамільтоніана не залежить безпосередньо від часової похідної $\psi$, прямо, але цей вираз є правильним.

З допомогою виразу для $\psi (x)$, ми можемо побудувати пропагатор Фейнмана для ферміонного поля:

$D_F(x-y)=⟨0|T(\psi (x)\bar{\psi }(y))|0⟩$

ми визначаємо впорядкований за часом добуток для ферміонів з мінусом через їх антикомутаційну природу.

$T[\psi (x)\bar{\psi }(y)]\stackrel{\text{def}}{=}\theta (x^0-y^0)\psi (x)\bar{\psi }(y)-\theta (y^0-x^0)\bar{\psi }(y)\psi (x).$

Вставляючи наш розклад на площинні хвилі для ферміонного поля у вищезгадану формулу, отримуємо:

$D_F(x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i(p/+m)}{p^2-m^2+iϵ}{e}^{-ip\cdot (x-y)}$

де ми використали слеш-нотацію Фейнмана. Цей результат має сенс, оскільки множник

$\frac{i(p/+m)}{p^2-m^2}$

є просто оберненим оператором, що діє на $\psi (x)$ в Діраковому рівнянні. Зауважте, що фейнманівський пропагатор для поля Клейна-Гордона має цю саму властивість. Оскільки всі розумні спостережувані (такі як енергія, заряд, кількість частинок тощо) будуються з парної кількості поля ферміонів, комутаційне співвідношення дорівнює нулю між будь-якими двома спостережуваними в точках простору-часу за межами світлового конуса. Як ми знаємо з елементарної квантової механіки, два одночасно комутуючих спостережуваних можна виміряти одночасно. Таким чином, ми правильно використали інваріантність Лоренца для поля Дірака і зберегли причинність.

Складніші теорії поля, які включають взаємодії (такі як теорія Юкави чи квантова електродинаміка), можна також аналізувати різними пертурбативними та непертурбативними методами.

Поля Дірака є важливою складовою Стандартної моделі.

Див. також

• Рівняння Дірака
• Теорема Паулі
• Спінор
• Композитне поле
• Допоміжне поле

Джерела

• Шаблон:Cite journal
• Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35–63.)
• Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Шаблон:ISBN.
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.