Теорема Паулі

Теорема Паулі про зв'язок спіну зі статистикою — теорема квантової теорії поля, яка пов'язує спін вільних одночастинкових станів зі статистикою (Бозе — Ейнштейна чи Фермі — Дірака), яка їх описує. Теорема була сформульована та доведена Вольфгангом Паулі у 1940 році у статті «Зв'язок між спіном і статистикою».

Формулювання теореми

Теорема Паулі зазвичай формулюється наступним чином:

Нехай простір станів фізичної системи має додатно визначену метрику, і кожному стану відповідає додатня енергія. Тоді у локальній лоренц-інваріантній теорії поля, в якій виконуються ці дві умови, поля, які описують частинки із цілим спіном, локально комутують між собою та із спінорними полями, а поля, що описують частинки із напівцілим спіном, локально антикомутують.

Доведення теореми

1. Отже, нехай $x,y$ — довільні точки простору Мінковського, розділені простороподібним інтервалом $(x-y{)}^2=(t_x-t_y{)}^2-(𝐱-𝐲{)}^2<0$. За час $t_x-t_y$ збурення, яке вийшло з точки $x$ та розповсюджується із швидкістю в $c$, пройде відстань $c|t_x-t_y|$ меншу, ніж $|𝐱-𝐲|$. Тому точка $y$ не зазнає дії сигналу, який вийшов із точки $x$, а отже, вимірювання у точках $x,y$ не вплинуть один на одного. Звідси випливає, що оператори, які відповідають фізичним величинам $L(x),L(y)$ при $(x-y{)}^2<0$, повинні комутувати один з одними:

$[\hat{L}(x),\hat{L}(y)]=0,(x-y{)}^2<0(1)$.

Як правило, усі оператори квантової теорії поля, що відповідають основним фізичним величинам, є деякими функціями полів, точніше — поліномами виду

${\hat{L}}_{AB}^{\sigma }=\sum _{A_i,B_j}{G}_{A{A}_1...A_{n}B{B}_1...B_m}^{\sigma }{\hat{\mathrm{\Psi }}}_{A_1}(x)...{\hat{\mathrm{\Psi }}}_{A_n}(x){\hat{\mathrm{\Psi }}}_{B_1}^{†}(x){\hat{\mathrm{\Psi }}}_{B_m}^{†}(x)$.

Тут $G_{A{A}_1...A_{n}B{B}_1...B_m}^{\sigma }$ побудований із лоренц-коваріантних об'єктів — тензора Леві-Чивіта, метричного тензора, матриць Паулі, гамма-матриць, метрики спінорів тощо, $A_i,B_j$ — набори спінорних індексів.

Це означає, що для виконання $(1)$ необхідно накласти одну з умов

$[{\hat{\psi }}_A(x),{\hat{\psi }}_B^{†}(y){]}_{\pm }=G_{AB}^{\pm }(x-y)D_0^{(\pm )}(x-y)$,

де $D_0(x-y)=0,(x-y{)}^2<0$. Аналогічні рівності також повинні бути справедливі для всіх можливих (анти)комутаторів полів (два поля ермітово спряжені, два неспряжені). До аналогічного результату можна прийти, вимагаючи від S-оператора лоренц-інваріантності.

Масивним полем спіну $s$ ${\hat{\mathrm{\Psi }}}_A(x)$ є об'єкт

${\hat{\mathrm{\Psi }}}_A(x)=\sum _{\sigma }\int \frac{d^3𝐩}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2p_0}}(k_1{u}_A^{\sigma }(𝐩){\hat{a}}_{\sigma }(𝐩)e^{-ipx}+k_2{v}_A^{\sigma }(𝐩){\hat{b}}_{\sigma }^{†}(𝐩)e^{ipx})$,

де мітка $\sigma$ пробігає $2s+1$ значень, а коефіцієнтні функції пов'язані співвідношеннями

$s=k:u_A^{\sigma }(𝐩)=(-1{)}^{s+\sigma }{v}_A^{-\sigma }(𝐩)$,

якщо поле є полем цілого спіну, чи напівцілого спіну із відсутністю інваріантності відносно просторових інверсій, і

$u_A^{\sigma }(𝐩)=(-1{)}^{s+\sigma }{\gamma }_5{v}_A^{-\sigma }(𝐩)$,

якщо теорія вільного поля напівцілого є інваріантною відносно просторових інверсій.

Безмасовим полем спіральності $\lambda$ є вираз

${\hat{\mathrm{\Psi }}}_{a_1...a_{2s}}^{(\lambda )}(x)=\int \frac{d^3𝐩}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2|𝐩|}}{u}_{a_1...a_{2s}}^{(-\lambda )}(𝐩)(k_1{e}^{-ipx}{\hat{a}}_{-\lambda }(𝐩)+k_2{e}^{ipx}{\hat{b}}_{\lambda }^{†}(𝐩)),s=\lambda$.

Безмасовим полем спіральності $-\lambda$ є вираз

${\hat{\mathrm{\Psi }}}_{{\dot{a}}_1...{\dot{a}}_{2s}}^{(-\lambda )}(x)=\int \frac{d^3𝐩}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2|𝐩|}}{u}_{{\dot{a}}_1...{\dot{a}}_{2s}}^{(-\lambda )}(𝐩)(k_3{e}^{-ipx}{\hat{a}}_{\lambda }(𝐩)+k_4{e}^{ipx}{\hat{b}}_{-\lambda }^{†}(𝐩)),s=\lambda$.

2. Нехай існує вакуумний стан, оператори народження та знищення утворюють фоківський базис та задовольняють одному із типів співвідношень — комутаторним чи антикомутаторним рівностям

$[{\hat{a}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{b}}_{\sigma \text{'}}(𝐤){]}_{\pm }=[{\hat{a}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{b}}_{\sigma \text{'}}^{†}(𝐤){]}_{\pm }=[{\hat{a}}_{\sigma }^{†}(𝐩),{\hat{b}}_{\sigma \text{'}}(𝐤){]}_{\pm }=[{\hat{a}}_{\sigma }^{†}(𝐩),{\hat{b}}_{\sigma \text{'}}^{†}(𝐤){]}_{\pm }=0$,

$[{\hat{a}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{a}}_{\sigma \text{'}}^{†}(𝐤){]}_{\pm }=[{\hat{b}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{b}}_{\sigma \text{'}}^{†}(𝐤){]}_{\pm }={\delta }_{\sigma \sigma \text{'}}\delta (𝐩-𝐤)$,

причому для одного поля $\hat{a},\hat{b}$ мають статистику одного типу (комутаційну чи антикомутаційну).

Із цих співвідношень одразу слідує, що

$[{\hat{\mathrm{\Psi }}}_A(x),{\hat{\mathrm{\Psi }}}_B(y){]}_{\pm }=[{\hat{\mathrm{\Psi }}}_A^{†}(x),{\hat{\mathrm{\Psi }}}_B^{†}(y){]}_{\pm }=0$.

3. Для випадку теорій цілого спіну та теорій напівцілого спіну, неінваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор полів має вигляд

$[{\hat{\mathrm{\Psi }}}_A(x),{\hat{\mathrm{\Psi }}}_B^{†}(y){]}_{\pm }=G_{AB}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)(|k_1{|}^2{D}_m(x-y)\pm (-1{)}^{2s}{D}_m(y-x)),D_m(x-y)=\int \frac{d^3𝐩}{(2\pi {)}^{3}2p_0}{e}^{-ip(x-y)}(2)$.

Тут $G_{AB}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)$ — поліном по похідних відповідно лише парних та непарних степенів для цілого та напівцілого спіну.

Для просторовоподібних інтервалів $D_m(x-y)=D_m(y-x)$, тому $(2)$ набуває вигляду

$[{\hat{\mathrm{\Psi }}}_A(x),{\hat{\mathrm{\Psi }}}_B^{†}(y){]}_{\pm }=G_{AB}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)D_m(x-y)(|k_1{|}^2\pm (-1{)}^{2s}|k_2{|}^2)$.

У результаті при $|k{|}_1=|k_2|$ маємо

$[{\hat{\mathrm{\Psi }}}_A(x),{\hat{\mathrm{\Psi }}}_B^{†}(y){]}_{\pm }=|k_1|G_{AB}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)D_m(x-y)(1\pm (-1{)}^{2s})(3)$.

Звідси очевидно, що у випадку цілого спіну для рівності нулю виразу $(3)$ треба вибирати комутатор, а у випадку напівцілого — антикомутатор.

3. Для випадку теорій напівцілого спіну, інваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор має вигляд

$[{\hat{\mathrm{\Psi }}}_A(x),{\widehat{\overline{\mathrm{\Psi }}}}_B(y){]}_{\pm }=(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m)R_{AB}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)(|k_1{|}^2{D}_m(x-y)\mp |k_2{|}^2{D}_m(y-x))$.

Тут поліном $R_{AB}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)$ має доданки, що складаються із добутків парних кількостей похідних та гамма-матриць, і доданки, що складаються із добутків непарних кількостей похідних та гамма-матриць. Повторюючи міркування п. 3, обираємо $|k_1|=|k_2|$ та знак, що відповідає антикомутатору.

Теорема доведена повністю.

Див. також

• Бозон
• Ферміон