Спінор

Спінор — двокомпонентна математична конструкція, за допомогою якої описуються частинки з напівцілим спіном.

На відміну від скаляра, спінор має дві компоненти, одна з яких відповідає спіну 1/2, а інша спіну -1/2. Вони позначаються ${\psi }^1$ та ${\psi }^2$ і записуються в стовпчик

$\psi =\left(\begin{array}{c}{\psi }^1\\ {\psi }^2\end{array}\right)$

Конструкція $\psi$ називається спінором.

При повороті системи координат компоненти спінора зв'язані лінійним співвідношенням

${\psi }^{1\prime }=a{\psi }^1+b{\psi }^2,{\psi }^{2\prime }=c{\psi }^1+d{\psi }^2$

або

$\psi =\hat{U}\psi ,\hat{U}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

$\hat{U}$ — матриця перетворення, а її елементи a, b, c, d — комплексні числа.

Білінійна форма ${\psi }^1{\phi }^2-{\psi }^2{\phi }^1$, де $\psi$ та $\phi$ — два спінори, що перетворюються при повороті системи координат як:

${\psi }^{1\prime }{\phi }^{2\prime }-{\psi }^{2\prime }{\phi }^{1\prime }=(ad-bc)({\psi }^1{\phi }^2-{\psi }^2{\phi }^1)$,

тобто ця форма перетворюється сама в себе. Отже, детермінант матриці перетворення повинен дорівнювати одиниці

$\det \hat{U}=ad-bc=1$.

Додаткові умови на елементи матриці перетворення є наслідком того, що вираз

${\psi }^{1*}{\psi }^1+{\psi }^{2*}{\psi }^2$

задає ймовірність перебування частинки в точці простору, тож повинна бути скаляром. Отже, перетворення $\hat{U}$ повинно бути унітарним. Тоді

$a=d^{*},b=-c^{*}$.

Враховуючи всі ці співвідношення, серед чотирьох комплексних чисел a, b, c, d всього три незалежні дійсні змінні, якраз стільки, щоб ними можна було описати поворот в тривимірному просторі.

В релятивістській квантовій механіці, де окрім просторових поворотів враховуються також перетворення Лоренца використовуються складніші чотирикомпонентні конструкції — біспінори.

Поворот навколо осі z

При повороті навколо осі z на кут $\varphi$ матриця перетворення задається формулою

$\hat{U}=e^{i{S}_z\varphi /\hslash }$,

де $S_z=\frac{1}{2}\hslash {\sigma }_z$ — z-ва складова оператора спіну, ${\sigma }_z$ — матриця Паулі, $\hslash$ — зведена стала Планка, $\varphi$ — кут повороту.

При дії цієї матриці на стан із спіном +1/2

$\hat{U}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=e^{i\varphi /2}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

Таким чином при повороті на кут $2\pi$ спінор міняє свій знак.

Див. також

• Рівняння Дірака
• Теорема Атії — Зінгера про індекс
• Ферміон Дірака

Джерела

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book