Рівняння Дірака

Шаблон:UniboxШаблон:Фізична теорія Рівня́ння Дірака — релятивістсько-інваріантне рівняння руху для біспінорного класичного поля електрона, застосовне також для опису інших точкових ферміонів зі спіном 1/2. Його вперше записав Поль Дірак у 1928.

Рівняння Дірака призвело до пояснення напівцілого спіну електрона та до відкриття античастинок, якими для електрона є позитрони. Частинку зі спіном 1/2 описує нерелятивістське рівняння Паулі, до якого зводиться рівняння Дірака при малих енергіях.

Вигляд рівняння

Рівняння Дірака записується в вигляді

$(m{c}^2{\alpha }_0+c\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{\hat{p}}_j)\psi (𝐱,t)=i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}(𝐱,t)$

де $m$ — маса електрона (або іншого ферміона, що описується рівнянням), $c$ — швидкість світла, ${\hat{p}}_j=-i\hslash {\partial }_j=-\overline{\frac{\partial }{\partial x_j}}$ — три оператори компонент імпульсу (x, y, z), $\hslash =\frac{h}{2\pi }$, $h$ — стала Планка, x=(x, y, z) і t просторові координати та час, відповідно, та $\psi (𝐱,t)$ — чотирикомпонентна комплексна хвильова функція (біспінор).

$\psi (𝐱,t)=\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(𝐱,t)\\ {\psi }_2(𝐱,t)\\ {\psi }_3(𝐱,t)\\ {\psi }_4(𝐱,t)\end{array}\right)$

${\alpha }_0,{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ — лінійні оператори над простором біспінорів, які діють на хвильову функцію. Ці оператори підібрані таки чином, що кожна пара таких операторів антикомутує, а квадрат кожного дорівнює одиниці:

${\alpha }_i{\alpha }_j=-{\alpha }_j{\alpha }_i$, де $i\ne j$ і індекси $i,j$ змінюються від 0 до 3,

${\alpha }_i^2=1$ для $i$ від 0 до 3.

У даному представленні ці оператори є матрицями розміру 4×4 (це мінімальний розмір матриць, для яких виконуються умови антикомутації) і називаються альфа-матрицями Дірака

Весь оператор в дужках в лівій частині рівняння називається оператором Дірака, точніше, в сучасній термінології його слід називати гамільтоніаном Дірака, оскільки оператором Дірака зазвичай називають коваріантний оператор D, з яким рівняння Дірака записується у вигляді DΨ=0 (як описано в наступному зауваженні).

У сучасній фізиці часто використовується коваріантна форма запису рівняння Дірака (детальніше див. нижче):

$(i\hslash c{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m{c}^2)\psi =0$

Побудова рівняння Дірака

Рівняння Дірака — релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера:

$\hat{H}|\psi (t)⟩=i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩.$

Для зручності будемо працювати в координатному представленні, в якому стан системи задається хвильовою функцією ψ(x,t). В цьому представленні рівняння Шредінгера записується у вигляді

$\hat{H}\psi (𝐱,t)=i\hslash \frac{\partial \psi (𝐱,t)}{\partial t},$

де гамільтоніан $\hat{H}$ тепер діє на хвильову функцію.

Гамільтоніан потрібно визначити так, щоб він описував повну енергію системи. Для нерелятивістського вільного електрона (який ні з чим не взаємодіє, ізольований від усіх сторонніх полів) гамільтоніан має вигляд аналогічний кінетичній енергії в класичній механіці (якщо не брати до уваги ні релятивістських поправок, ні спіну):

$\hat{H}=\sum _{j=1}^3\frac{{\hat{p}}_j^2}{2m},$

де p_j — оператори проєкцій імпульсу, де індекс j =1,2,3 означає декартові координати. Кожен такий оператор діє на хвильову функцію як просторова похідна:

${\hat{p}}_j\psi (𝐱,t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-i\hslash \frac{\partial \psi (𝐱,t)}{\partial x_j}.$

Щоб описати релятивістську частинку, потрібно знайти інший гамільтоніан. При цьому є підґрунтя вважати, що оператор імпульсу зберігає щойно наведене визначення. Відповідно до релятивістського співвідношення повну енергію системи можна виразити як

$E=\sqrt{(m{c}^2{)}^2+\sum _{j=1}^3(p_{j}c{)}^2}.$

Це приводить до виразу

$\sqrt{(m{c}^2{)}^2+\sum _{j=1}^3(p_{j}c{)}^2}\psi =i\hslash \frac{d\psi }{dt}.$

Це не зовсім задовільне рівняння, оскільки не видно явної лоренц-коваріантності (яка виражає формальне рівноправ'я часу і просторових координат, що є одним з наріжних каменів спеціальної теорії відносності), а крім того — написаний корінь з оператора не виписаний явно. Однак, піднесення до квадрата лівої та правої частин приводить до явно лоренц-коваріантного рівняння Клейна — Ґордона. Дірак запропонував, що оскільки права частина рівняння містить першу похідну по часу, то і ліва частина повинна мати тільки похідні першого порядку по просторових координатах (інакше кажучи — оператори імпульсу в першій степені). Тоді, приймаючи, що коефіцієнти перед похідними, яку б природу вони не мали, — постійні (внаслідок однорідності простору), залишається тільки записати:

$i\hslash \frac{d\psi }{dt}=[c\sum _{i=1}^3{\alpha }_i{p}_i+{\alpha }_{0}m{c}^2]\psi$

— це і є рівняння Дірака (для вільної частинки).

Однак коефіцієнти ${\alpha }_i$ ще не визначені. Якщо припущення Дірака правильне, то права частина, піднесена до квадрату, повинна дати

$(m{c}^2{)}^2+\sum _{j=1}^3(p_{j}c{)}^2$

тобто

${(m{c}^2{\alpha }_0+c\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{p}_j)}^2=(m{c}^2{)}^2+\sum _{j=1}^3(p_{j}c{)}^2.$

Розкриваючи дужки в лівій частині отриманого рівняння, можна знайти умови на α:

${\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i=0,$ для всіх $i,j=0,1,2,3(i\ne j),$

${\alpha }_i^2=1,$ для всіх $i=0,1,2,3.$

або, скорочено записавши все разом:

${\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i=2{\delta }_{ij}$ для $i,j=0,1,2,3,$

або, ще коротше, користуючись фігурними дужками для позначення антикомутаторів:

$\{{\alpha }_i,{\alpha }_j\}=2{\delta }_{ij}$ для $i,j=0,1,2,3.$

де {,} — антикомутатор, що визначається як {A, B}≡AB+BA, і δ_ij — символ Кронекера, який приймає значення 1 якщо два індекси рівні, а в протилежному випадку — 0. Див. алгебра Кліфорда.

Оскільки такі співвідношення не можуть виконуватись для звичайних чисел (адже числа комутують, а α — ні), залишається припустити, що α — це деякі лінійні оператори або матриці (тоді одиниці й нулі в правій частині співвідношень можна вважати відповідно одиничним і нульовим оператором або матрицею) і можна намагатися знайти конкретний набір α, скориставшись даними співвідношеннями (і це вдається).

Стає зрозуміло, що хвильова функція повинна бути не однокомпонентною (тобто не скалярною), а векторною, маючи на увазі вектори якогось абстрактного «внутрішнього» простору, не пов'язаного прямо зі звичайним фізичним простором або простором-часом.

Матриці повинні бути ермітові, так щоб гамільтоніан теж був ермітовим оператором. Найменша розмірність матриць, що задовольняють вказаним критеріям, чотири, тобто це комплексні матриці 4×4, хоча конкретний вибір матриць (або представлення) не є однозначним. Ці матриці утворюють групу, в якій групова операція — матричне множення. Хоча вибір представлення цієї групи не впливає на властивості рівняння Дірака, він впливає на фізичний зміст компонент хвильової функції. Хвильова функція в такому разі повинна бути чотиривимірним комплексним абстрактним (не пов'язаним прямо з векторами звичайного простору-часу) біспінорним полем.

У вступі було наведено представлення, яке використовував Дірак. Це представлення можна правильно записати як

${\alpha }_0=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right]{\alpha }_j=\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }_j\\ {\sigma }_j& 0\end{array}\right]$

де 0 і I — 2×2 нульова та одинична матриці відповідно, і σ_j (j = 1, 2, 3) — матриці Паулі, що є матричним представленням кватерніонів, про які давно відомо, що вони антикомутують.

Гамільтоніан в цьому рівняння

$\hat{H}=m{c}^2{\alpha }_0+c\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{p}_j$

називається гамільтоніаном Дірака.

Для звичайного рівняння Дірака у двовимірному просторі або в тривимірному, але з m=0, замість альфа-матриць достатньо лише матриць Паулі; замість чотирикомпонентного біспінорного поля при цьому роль хвильової функції буде виконувати двокомпонентне спінорне.

Релятивістсько-коваріантна форма

Коваріантний запис рівняння Дірака для вільної частинки має такий вигляд:

$(i\hslash c\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m{c}^2)\psi =0,$

або, використовуючи правило Ейнштейна сумування по індексах, що повторюються, так:

$(i\hslash c{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m{c}^2)\psi =0.$

Пояснення

Часто корисно буває користуватись рівнянням Дірака в релятивістсько-коваріантній формі, в якій просторові та часові координати формально рівноправні.

Оператор імпульсу $\hat{p}$ діє як просторова похідна:

$𝐩\psi (𝐱,t)=-i\hslash \mathrm{\nabla }\psi (𝐱,t).$

Множачи рівняння Дірака з кожного боку на α₀ (згадуючи що α₀²=I) і підставляючи його у визначення для $\hat{p}$, рівняння Дірака набирає вигляду

$[i\hslash c({\alpha }_0\frac{\partial }{c\partial t}+\sum _{j=1}^3{\alpha }_0{\alpha }_j\frac{\partial }{\partial x_j})-m{c}^2]\psi =0.$

Чотири гамма матриці визначаються як:

${\gamma }^0\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\alpha }_0,{\gamma }^j\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\alpha }_0{\alpha }_j.$

Ці матриці мають властивість, що

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2{\eta }^{\mu \nu }\cdot I,\mu ,\nu =0,1,2,3$

де η метрика плоского простору. Ці співвідношення визначають алгебру Кліфорда, що називається алгеброю Дірака.

Рівняння Дірака тепер можна записати, використовуючи чотири-вектор x = (ct, x), як

$(i\hslash c\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m{c}^2)\psi =0.$

У цій формі рівняння Дірака можна отримати з допомогою знаходження екстремуму дії

$𝒮=\int \overline{\psi }(i\hslash c\sum _{\mu }{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m{c}^2)\psi d^{4}x$

де

$\overline{\psi }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\psi }^{†}{\gamma }_0$

називається приєднаною матрицею Дірака для ψ. Це основа для використання рівняння Дірака в квантовій теорії поля.

В цій формі електромагнітну взаємодію можна просто додати розширивши частинну похідну до калібрувальної похідної:

${\partial }_{\mu }\to D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }.$

Запис з використанням «Feynman slash»

Інколи використовується запис з використанням «перекреслених матриць» («Feynman slash»). Прийнявши позначення

$a/\leftrightarrow \sum _{\mu }{\gamma }^{\mu }{a}_{\mu }$,

бачимо, що рівняння Дірака можна записати як

$(i\hslash c\partial /-m{c}^2)\psi =0$

і вираз для дії записується у вигляді

$𝒮=\int \overline{\psi }(i\hslash c\partial /-m{c}^2)\psi d^{4}x.$

Діраківські білінійні форми

Є п'ять різних (нейтральних) діраковських білінійних форм без похідних:

• (S) скаляр: $\overline{\psi }\psi$ (скаляр, P-парний)
• (P) псевдоскаляр: $\overline{\psi }{\gamma }^5\psi$ (скаляр, P-непарний)
• (V) Вектор: $\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$ (вектор, P-парний)
• (A) аксіальний вектор: $\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$ (вектор, P-непарний)
• (T) тензор: $\overline{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi$ (антисиметричний тензор)

де ${\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}{[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]}_{-}$ і ${\gamma }^5={\gamma }_5=\frac{i}{4!}{ϵ}_{\mu \nu \rho \lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\lambda }=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$.

Розв'язки

Характерною особливістю рівняння Дірака є те, що для вільної частинки воно має 4 розв'язки, які інтерпретуються як

• електрон зі спіном 1/2;
• електрон зі спіном -1/2;
• позитрон зі спіном 1/2;
• позитрон зі спіном -1/2;

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Рівняння Дірака в «Фізичній енциклопедії»

Посилання

Лекції з квантової фізики