Пропагатор

Пропага́тор або фу́нкція поши́рення — функція, що задає амплітуду ймовірності переходу квантової частинки, яка перебувала в певний момент часу в однієї точці простору, в іншу в інший момент часу.

Пропагатор є функцією Гріна рівняння Шредінгера. Пропагатори використовуються для функціонального формулювання квантової механіки, в якому застосовуються інтеграли Фейнмана.

Означення

Пропагатор визначається, як матричний елемент оператора еволюції

$K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })=⟨x|\hat{S}(t,t^{\prime })|x^{\prime }⟩$,

де пропагатор позначений K, оператор еволюції $\hat{S}$, а $|x⟩$ — власна функція оператора координати.

В нерелятивістській квантовій механіці пропагатор задовольняє рівнянню

$(\hat{H}-i\hslash \frac{\partial }{\partial t})K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })=-i\hslash \delta (x-x^{\prime })\delta (t-t^{\prime })$,

де $\hat{H}$ — гамільтоніан, $\hslash$ — зведена стала Планка.

Хвильова функція частинки в момент часу t виражається через хвильову функцію в момент часу $t^{\prime }<t$ з використанням пропагатора через формулу

$\psi (x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })\psi (x^{\prime },t^{\prime })d{x}^{\prime }$

Приклади

Вільна частинка

Для вільної частинки, яка рухається в тривимірному просторі пропагатор має вигляд

$K(𝐫,t;{𝐫}^{\prime },t^{\prime })=K(𝐫-{𝐫}^{\prime },t-t^{\prime })={\left(\frac{m}{2\pi i\hslash (t-t^{\prime })}\right)}^{3/2}\exp \left(\frac{im(𝐫-{𝐫}^{\prime }{)}^2}{2\hslash (t-t^{\prime })}\right)$,

де m — маса частинки.

Ця формула описує розпливання хвильового пакета з часом.

Пропагатори у квантовій теорії поля

У квантовій теорії поля пропагатором для коваріантного поля народження і знищення

${\hat{\mathrm{\Psi }}}_l(x)=\sum _{\sigma }\int \frac{d^3𝐩}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2E_{𝐩}}}({\hat{a}}_{\sigma }(𝐩)e^{-ipx}{u}_l^{\sigma }(𝐩)+{\hat{b}}_{\sigma }^{†}(𝐩)e^{ipx}{v}_l^{\sigma }(𝐩))$,

де $l$ - спінорний індекс, що відповідає спіну (спіральності) $s$ поля як представлення групи Пуанкаре, $\sigma$ - поляризації ($2s+1$ поляризацій для масивного випадку, 1 поляризація для безмасового випадку без інваріантності представлення відносно дискретних симетрій групи Лоренца та 2 поляризації для безмасового випадку із інваріантністю відносно вказаних дискретних симетрій),

(у координатному представленні) називається вираз

$-i{D}_{lm}^c(x-y)=⟨0|\hat{T}({\hat{\mathrm{\Psi }}}_l(x),{\hat{\mathrm{\Psi }}}_m^{†}(y))|0⟩(1)$.

Тут $\hat{T}(\hat{A}(x)\hat{B}(y))=\theta (x_0-y_0)\hat{A}(x)\hat{B}(y)\pm \theta (y_0-x_0)\hat{B}(y)\hat{A}(x)$,

де $\pm$ обирається в залежності від типу комутаційних співвідношень для операторів полів $\hat{A}(x),\hat{B}(y)$ - відповідно комутаційних чи антикомутаційних.

Обмежимось пропагатором для вільної теорії. Враховуючи, що при дії на вакуум маємо $\hat{a}|0⟩=\hat{b}|0⟩=0$, вираз $(1)$ можна переписати як

$-i{D}_{lm}^c(x-y)=\theta (x_0-y_0)⟨|[{\hat{\mathrm{\Psi }}}_l^{+}(x),({\hat{\mathrm{\Psi }}}_m^{+}{)}^{†}(y){]}_{\pm }|⟩\pm \theta (y_0-x_0)⟨|[({\hat{\mathrm{\Psi }}}_m^{-}{)}^{†}(y),{\hat{\mathrm{\Psi }}}_l^{-}(x){]}_{\pm }|⟩(2)$,

де $\pm$ визначає антикомутатор чи комутатор відповідно. Використовуючи (анти)комутаційні співвідношення на оператори народження і знищення

$[{\hat{a}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{a}}_{{\sigma }^{\prime }}^{†}(𝐤){]}_{\pm }=[{\hat{b}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{b}}_{{\sigma }^{\prime }}^{†}(𝐤){]}_{\pm }=\delta (𝐩-𝐤){\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }},[{\hat{a}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{b}}_{{\sigma }^{\prime }}(𝐤){]}_{\pm }=[{\hat{a}}_{\sigma }(𝐩),{\hat{a}}_{{\sigma }^{\prime }}(𝐤){]}_{\pm }=...=0$,

можна отримати вираз

$-i{D}_{lm}^c(x-y)=-i{P}_{lm}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)D^c(x-y)(3)$,

де

$P_{lm}\left(p\right)=\sum _{\sigma }{u}_l^{\sigma }(p)(u_l^{\sigma }{)}^{†}(p)$,

а

$D^c(x-y)=i\theta (x_0-y_0)D_m(x-y)+i\theta (y_0-x_0)D_m(y-x),D_m(x-y)=\int \frac{d^3𝐩}{(2\pi {)}^{3}2p_0}{e}^{ip(x-y)}$ -

пропагатор для клейн-гордонівського поля спіну 0. Як можна показати, він задовольняє рівнянню

$({\partial }^2+m^2)D^c(x-y)=\delta (x-y)$,

тому його можна представити як

$D^c(x-y)=\frac{i}{(2\pi {)}^4}\int \frac{e^{-ip(x-y)}{d}^{4}p}{p^2-m^2-i0}$.

Тому, нарешті, вираз $(3)$ переписується як

$D_{lm}^c(x-y)=P_{lm}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)\frac{i}{(2\pi {)}^4}\int \frac{e^{-ip(x-y)}{d}^{4}p}{p^2-m^2-i0}=\frac{i}{(2\pi {)}^4}\int \frac{P_{lm}\left(p\right)e^{-ip(x-y)}{d}^{4}p}{p^2-m^2-i0}$.

Для найпростіших теорій (скалярної, діраківської, масивного бозону спіну 1 і безмасового бозону спіральності 1) маємо, з відомих виразів для сум по поляризаціям,

$D_{lm}^{sc.}(x-y)=D^c(x-y)=\frac{i}{(2\pi {)}^4}\int \frac{e^{-ip(x-y)}{d}^{4}p}{m^2-p^2-i0}$,

$D_{lm}^{d.}(x-y)=\frac{i}{(2\pi {)}^4}(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m)\int \frac{e^{-ip(x-y)}{d}^{4}p}{m^2-p^2-i0}$,

$D_{lm}^{pr.}(x-y)=\frac{i}{(2\pi {)}^4}(g_{\mu \nu }+\frac{{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }}{m^2})\int \frac{e^{-ip(x-y)}{d}^{4}p}{m^2-p^2-i0}$,

$D_{lm}^{el.}(x-y)=\frac{i}{(2\pi {)}^4}{g}_{\mu \nu }\int \frac{e^{-ip(x-y)}{d}^{4}p}{-p^2-i0}$.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга