Теорема Круля — Акідзукі

В комутативній алгебрі теорема Круля — Акідзукі стверджує: нехай A є одновимірним редукованим нетеровим кільцем (комутативним з одиницею), K його повним кільцем часток. Якщо L є скінченним розширенням K і є редукованим кільцем то будь-яке підкільце $B\subset L,$ що містить A є нетеровим кільцем розмірності 0 або 1. Якщо також в L як K-модулі є скінченна породжуюча множина, що містить 1 і для деякого елемента $x_i$ з цієї множини $L=a_{i}K\oplus L^{\prime },$ де L' — підмодуль породжений іншими елементами породжуючої множини, то для кожного ненульового ідеала I в кільці B, $B/I$ є модулем скінченної довжини над A. Остання умова зокрема виконується якщо L є вільним K-модулем базис якого містить 1.

Важливим частковим випадком є коли A є нетеровою областю цілісності, K її полем часток, а L — скінченним розширенням полів. Тоді B має розмірність 0 тоді і тільки тоді коли воно є полем.

Наслідком теореми є те, що ціле замикання кільця Дедекінда A у скінченному розширенні його поля часток теж є кільцем Дедекінда.

Доведення

Теорему можна звести до випадку $L=K$. Нехай $1=x_1,x_2,\dots ,x_n$ — скінченна породжуюча множина L як K-модуля, яка задовольняє додаткову умову теореми, якщо це можливо. Добуток неодиничних елементів цієї множини матиме вигляд $x_i{x}_j=\sum _{k=1}^n\frac{d_k}{p_{ijk}}{x}_k$ де всі $d_k,p_{ijk}\in A$ і $p_{ijk}$ не будуть дільниками нуля. Позначивши p добуток $p_{ijk}$ то в породжуючій множині всі елементи $x_i$ можна замінити на $p{x}_i.$ Тоді в записі добутків через суму всі коефіцієнти будуть належати A. Також при заміні додаткові умови теореми виконуються.

При вказаному виборі породжуючої множини A-підмодуль $A^{\prime }=\sum _{i=1}^n{x}_{i}A$ і B-підмодуль $B^{\prime }=\sum _{i=1}^n{x}_{i}B$ будуть підкільцями L і скінченними розширеннями кілець A і B відповідно. Оскільки L є редукованим кільцем такими ж є і A' і B' .

Також L є повним кільцем часток для A' . Дійсно кожен елемент L можна записати як частку елемента A' і не дільника нуля з A. Тож L є локалізацією кільця A' . Також кожен не дільник нуля з A' є оборотним елементом елемент L, що і доводить твердження.

Як скінченне (а тому і ціле) розширення A кільце A' є нетерівським розмірності 1. Також B буде нетеровим тоді і лише тоді коли таким буде B' і розмірності збігаються.

Якщо породжувальні елементи задовольняють вказану в твердженні умову, то з того, що для довільного ненульового ідеала I кільця B' фактор-кільце B' /I є A' -модулем скінченної довжини, таке ж твердження випливає для A і B. Дійсно нехай I — ненульовий підмодуль B і $J_k$ — деяка спадна чи зростаюча послідовність A-підмодулів кільця B/I. За умовою для деякого елемента $x_i$всі елементи виду $x_{i}I$ не можна записати як лінійну комбінацію інших породжувальних елементів. Далі елементи виду $\sum _{j=1}^n{x}_{j}I$ утворюють ідеал I' у B' перетин якого з $x_{i}B$ є рівним $x_{i}I.$ Фактор-кільце за цим ідеалом є рівне $\sum _{j=1}^n{x}_{j}B/I$ і знову ж елементи $x_{i}B/I$ не є лінійними комбінаціями інших елементів породжуючої множини. Також $\sum _{j=1}^n{x}_j{J}_k$ будуть A' -підмодулями кільця B' /I' . До того ж всі ці модулі різні, бо всі $x_i{J}_k$ є різними і ці елементи не виражаються лінійно через інші породжувальні. Звідси B' /I' не має скінченної довжини як A' -модуль, що призводить до суперечності.

Отож достатньо довести теорему коли $L=K$. Кільце L є очевидно редукованим. До того ж у цьому випадку розмірність є рівною 0 тоді і лише тоді коли $B=K$. Доведення зводиться до випадку коли A є областю цілісності. Нехай ${𝔭}_i$ є мінімальними простими ідеалами кільця A. Оскільки A є нетеровим їх є скінченна кількість. Нехай $K_i$ позначають поля часток $A/{𝔭}_i$ і $I_i$ — ядра відображень $B\to K\to K_i$. Тоді:

$A/{𝔭}_i\subseteq B/I_i\subseteq K_i$.

Якщо твердження теореми виконується коли A є областю цілісності, то всі $B/I_i$ є нетеровими областями і розмірність $B/I_i$ є рівною 0 у випадку $B/I_i=K_i$ і 1 в іншому випадку. Звідси очевидно, що і розмірність B є рівною 0 або 1, до того ж нулю лише тоді коли B = K. Оскільки $\cap J_i=0$ то кільце є нетеровим.

Отож доведення зрештою звелося до випадку коли A є областю цілісності. Нехай $0\ne I\subset B$ є ідеалом і a ненульовий елемент у $I\cap A$. Нехай $I_n=a^{n}B\cap A+aA$. Ці ідеали утворюють спадну послідовність у артиновому кільці $A/aA$ і тому існує ціле число l таке, що $I_n=I_l$ для всіх $n\ge l$.

Далі доведемо

$a^{l}B\subset a^{l+1}B+A.$

Твердження достатньо довести для всіх максимальних ідеалів кільця, тож можна вважати A локальним кільцем з максимальним ідеалом $𝔪$. Якщо a є оборотним елементом, то твердження очевидне, тож нехай a належить максимальному ідеалу.

Якщо x = b/c є ненульовим елементом у B то з того, що A є нетеровим локальним кільцем розмірності 1 випливає, що cA є $𝔪$-примарним ідеалом і тому існує n для якого ${𝔪}^{n+1}\subset cA\subset x^{-1}A,$ зокрема $a^{n+1}x\in R.$ Тому $a^{n+1}x\in a^{n+1}B\cap \subset I_{n+2}$. Звідси,

$a^{n}x\in a^{n+1}B\cap +A.$

Нехай тепер n є мінімальним цілим числом $n\ge l$ для якого виконується останнє твердження. Якщо $n>l$ то:

$a^{n}x\in (a^{n+1}B+A)\cap a^{n}A=a^{n+1}B+a^{n}B\cap A\subseteq a^{n+1}B+a^{n+1}B\cap A+aA=I_{n+1}.$

Але звідси твердження також виконується для $n-1$, що суперечить мінімальності. Тому $n=l$ і це доводить твердження.

Тепер маємо:

$B/aB\simeq a^{l}B/a^{l+1}B\subset (a^{l+1}B+A)/a^{l+1}B\simeq A/a^{l+1}B\cap A.$

Тому $B/aB$ і звідси також $I/aB$ є A-модулем скінченної довжини. Оскільки довжина $I/aB$ як B-модуля є не більшою, ніж його довжина як A-модуля, то ця довжина є скінченною, а тому цей модуль і також I є скінченнопородженим. Тому B є нетерівським. Окрім того $B/aB$ має скінченну довжину як B-модуль, а тому є артіновим кільцем, тобто має розмірність 0. Звідси B має розмірність 1.

Див. також

• Кільце Дедекінда
• Повне кільце часток
• Поле часток
• Розмірність Круля

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation