Примарний ідеал

Примарний ідеал — ідеал $I$ комутативного кільця, для якого, якщо $xy$ є елементом $I$, то $x$ або $y^n$ теж є елементом $I,$ для деякого натурального $n.$ Є важливим поняттям в комутативній алгебрі.

Довільний ідеал в кільці Нетер має примарний розклад, тобто може бути записаний як перетин скінченної кількості примарних ідеалів. Цей результат відомий як теорема Ласкера — Нетер.

Всі прості ідеали є примарними ідеалами.

Якщо $I$ — примарний ідеал, тоді асоційований простий ідеал $P$ є радикалом $I.$ Ідеал $I$ в такому випадку називають $P$-примарним.

Якщо $P$ максимальний простий ідеал, тоді довільний ідеал, що містить степінь $P$ є $P$-примарним. Не всі $P$-примарні ідеали є степенями $P,$ наприклад, ідеал (x, y²) є $P$-примарним для ідеалу P = (x, y) в кільці k[x, y], але він не є степенем P.

Джерела

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра