Ендоморфізм Фробеніуса

Ендоморфізм Фробеніуса — ендоморфізм комутативного кільця простої характеристики Шаблон:Math, задається формулою $x\mapsto x^p$. У деяких випадках, наприклад, у разі скінченного поля, ендоморфізм Фробеніуса є автоморфізмом, проте в загальному випадку це не так.

Означення

Нехай Шаблон:Math — комутативне кільце простої характеристики Шаблон:Math (зокрема, такою є будь-яка область цілісності ненульової характеристики). Ендоморфізм Фробеніуса кільця Шаблон:Math задається формулою $F(x)=x^p$.

Ендоморфізм Фробеніуса є гомоморфізмом кілець оскільки $(xy{)}^p=x^p{y}^p,(x+y{)}^p=x^p+y^p$ (щоб довести другу тотожність, достатньо розписати ліву частину за формулою бінома Ньютона і зазначити, що всі біноміальні коефіцієнти, крім першого і останнього, подільні на Шаблон:Math ).

Основні властивості

• Якщо $\phi :R\to S$ — довільний гомоморфізм кілець простої характеристики Шаблон:Math, то $\phi (x^p)=(\phi (x){)}^p$, тобто: $\phi \circ F_R=F_S\circ \phi$.

Це означає, що ендоморфізм Фробеніуса є натуральним перетворенням тотожного функтора (на категорії комутативних кілець характеристики Шаблон:Math) в себе.

• Якщо кільце Шаблон:Math не містить нетривіальних нільпотентів, то ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним (оскільки його ядро є рівним нулю). Обернене твердження теж є вірним: якщо $x$ - нетривіальний нільпотентний елемент, такий що для $x^n=0$ але $x^{n+1}\ne 0$ для деякого $n>1$, то $(x^{n-1}{)}^p=0$.

• Ендоморфізм Фробеніуса не обов'язково є сюр'єктивним, навіть якщо Шаблон:Math є полем. Наприклад, нехай $R={𝔽}_p(t)$ - поле раціональних функцій з коефіцієнтами в ${𝔽}_p$, тоді функція $t$ не є образом ендоморфізму Фробеніуса. Поле Шаблон:Math називається досконалим, якщо його характеристика дорівнює нулю, або характеристика є рівною Шаблон:Math і ендоморфізм Фробеніуса $F(x)=x^p$ є сюр'єктивним (а отже є автоморфізмом). Зокрема, всі скінченні поля є досконалими.

Нерухомі точки

Розглянемо скінченне поле ${𝔽}_p$. Згідно малої теореми Ферма, всі елементи цього поля задовольняють рівняння $x^p=x$. Рівняння Шаблон:Math-го степеня не може мати більше Шаблон:Math коренів, отже, в будь-якому розширенні поля ${𝔽}_p$ нерухомі точки ендоморфізму Фробеніуса — елементи поля ${𝔽}_p$. Аналогічне твердження вірне для цілісних кілець характеристики Шаблон:Math.

Подібні властивості задовольняють і степені ендоморфізму Фробеніуса. Якщо ${𝔽}_{p^k}$ — скінченне поле, всі його елементи задовольняють рівняння $x^{p^k}=x$ і в будь-якому розширенні цього поля елементи вихідного поля є нерухомими точками Шаблон:Math-го степеня ендоморфізму Фробеніуса, тобто нерухомими точками $x\mapsto x^{p^k}$.

Породжуючий елемент групи Галуа

Група Галуа скінченного розширення скінченного поля є циклічною і породжується степенем ендоморфізму Фробеніуса.

Розглянемо спочатку випадок, коли основне поле є рівним ${𝔽}_p$. Нехай ${𝔽}_q$ — скінченне поле, де $q=p^n$. Ендоморфізм Фробеніуса $F$ зберігає елементи простого поля ${𝔽}_p$. Також $F$ у цьому випадку є автоморфізмом оскільки для полів характеристики Шаблон:Math: $(x-y{)}^p=x^p-y^p$, тож $F(x)=F(y)$ тоді і тільки тоді коли $x=y$. Тобто ендоморфізм Фробеніуса є елементом групи Галуа розширення ${𝔽}_q\supset {𝔽}_p$. До того ж ця група є циклічною і породжується $F$.

Справді $F^n(x)=x^{p^n}=x$ для всіх $x\in {𝔽}_q$, тож $F^n$ є тотожним відображенням. З іншого боку для $d<n$ рівність $F^d(x)=x^{p^d}=x$ може виконуватися лише щонайбільше для $p^d$ елементів поля ${𝔽}_q$, тож $F^d$ не є тотожним відображенням і автоморфізми $F^0,F,F^2,\dots ,F^{n-1}$ є різними. Але згідно базових результатів теорії Галуа оскільки $[{𝔽}_q:{𝔽}_p]=n$ то і порядок групи Галуа теж є рівним Шаблон:Math. Тому всі елементи цієї групи є степенями ендоморфізму Фробеніуса.

У розширенні ${𝔽}_{q^k}\supset {𝔽}_q$ для Шаблон:Math-ого степеня ендоморфізма Фробеніуса $F^n$ (який теж є автоморфізмом) полем нерухомих точок є ${𝔽}_q$. Подібно як і вище можна довести, що група Галуа цього розширення породжується $F^n$ і має порядок $k$.

Для розширень ${𝔽}_{q^k}\supset {𝔽}_q$ відображення $F_{{𝔽}_{q^k}/{𝔽}_q}=F^n(x)=x^{p^n}$ також називають автоморфізмом Фробеніуса цього розширення.

Застосування в теорії чисел

Локальні поля

Нехай k — локальне поле із скінченним полем лишків $\overline{k}$, а K — нерозгалужене скінченне розширення поля k. Тоді автоморфізм Фробеніуса розширень скінченних полів лишків $F_{\overline{K}/\overline{k}}$ однозначно продовжується до автоморфізму розширення $K/k$, що теж називається автоморфізмом Фробеніуса і позначається $F_{K/k}$. Нехай $|\overline{k}|=q=p^n$, ${𝒪}_K$-кільце цілих елементів поля K і $𝔭$ — максимальний ідеал в ${𝒪}_K$. Тоді автоморфізм Фробеніуса однозначно визначається умовою:

$F_{K/k}(x)\equiv x^{q}mod𝔭$

для будь-якого $x\in {𝒪}_K$.

Якщо $K/k$ — довільне скінченне розширення Галуа локальних полів, то автоморфізмом Фробеніуса розширення $K/k$ іноді називають будь-який автоморфізм, що індукує на максимальному нерозгалуженому підрозширенні поля $K$ автоморфізм Фробеніуса у зазначеному вище означенні.

Глобальні поля

Нехай $K/k$ — скінченне розширення Галуа глобальних полів, $𝔭$ — простий ідеал поля k і $𝔅$ — деякий простий ідеал поля K, що лежить над $𝔭$. Нехай також $𝔅$ є розгалуженим в розширенні $K/k$.

Тоді можна перейти до поповнень і ввести $F_{𝔅}=F_{K_{𝔅}/k𝔭}\in$. Ототожнюючи групу Галуа $\mathrm{Gal}(K_{𝔅}/k_{𝔭})$ із підгрупою розкладання ідеалу $𝔅$ у групі $\mathrm{Gal}(K/k)$, можна розглядати $F_{𝔅}$ як елемент групи $\mathrm{Gal}(K/k)$. Цей елемент називається автоморфізмом Фробеніуса простого ідеалу $𝔅$ і породжує його групу розкладу. Відповідно до теореми Чеботарьова про щільність для будь-якого автоморфізму $\sigma \in \mathrm{Gal}(K/k)$ існує нескінченна кількість простих нерозгалужених в $K/k$ ідеалів $𝔅$ для яких $F_{𝔅}=\sigma$.

Для абелевого розширення $K/k$ автоморфізм Фробеніуса залежить тільки від $𝔭$. У цьому випадку він також називається відображенням Артіна простого ідеалу $𝔭$.

Див. також

• Група Галуа
• Скінченне поле

Посилання

• Timothy Murphy. Course 373 Finite Fields Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation