Локальне поле

Локальне поле — певний тип полів з топологією, що часто виникають як поповнення полів. Ця топологія породжується для цих полів деяким абсолютним значенням. Локальні поля пов'язані із глобальними полями — скінченними розширеннями раціональних чисел і раціональних функцій однієї змінної над скінченними полями.

Означення

Локально компактне топологічне поле з недискретною топологією називається локальним.

Типи локальних полів

Існує два основних види локальних полів: ті, в яких абсолютне значення є архімедовим, і ті, в яких це не так. Перші називають архімедовими локальними полями, а другі — неархімедовими локальними полями .

Неархімедові локальні поля можна також охарактеризувати як повні поля щодо дискретного нормування для яких поле лишків є скінченним.

Будь-яке локальне поле є ізоморфним (як топологічне поле) одному з таких полів:

• Архімедові локальні поля (характеристика дорівнює нулю): поле дійсних чисел $ℝ$ і поле комплексних чисел $ℂ$ із стандартними топологіями для цих полів.
• Неархімедові локальні поля нульової характеристики: р-адичні числа ${\mathbb{Q}}_p$ і їх скінченні розширення.
• Неархімедові локальні поля характеристики $p\ne 0$: формальні ряди Лорана над скінченним полем ${𝔽}_{p^n}$ і їх скінченні розширення.

Властивості

Абсолютне значення

Якщо на локальному полі K задано відповідне абсолютне значення то на K можна ввести топологію: для додатного дійсного числа m, позначимо B_m підмножину K рівну

$B_m:=\{a\in K:|a|\le m\}.$

Тоді b+B_m є базою околів точки b у K. Навпаки, якщо задана локально компактна недискретна топологія то адитивна група локального поля, як будь-яка локально компактна топологічна група, допускає єдину (з точністю до множення на додатне число) міру Хаара μ. На полі $K$ можна ввести абсолютне значення $|a|$ як

$|a|=\frac{\mu (aX)}{\mu (X)}$

для деякого (а тому і будь-якої) вимірної підмножини $X\subset K$ з ненульовою скінченною мірою Хаара.

Неархімедові локальні поля

У неархімедовому локальному полі $K$ з абсолютним значенням $|*|$ можна дати наступні означення:

• Кільце цілих чисел

$𝒪=\{a\in K:|a|⩽1\}.$

Воно утворює кільце дискретного нормування і компактну кулю в $(K,|*|)$.

• Одиниці в кільці цілих чисел визначаються як ${𝒪}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$.

Вони утворюють групу і одиничну сферу в $(K,|*|)$.

• Єдиний ненульовий простий ідеал $𝔪$ в кільці цілих чисел є відкритою одиничною кулею

$\{a\in K:|a|<1\},$

і його породжуючий елемент $\omega \in 𝔪$ називається уніформізуючим елементом $K$.

• Поле лишків $k=𝒪/𝔪$ є скінченним, оскільки воно є компактним і дискретним.
• При цьому $|\omega |=\frac{1}{|k|}$, де $|k|$ — потужність поля лишків $k$.

• Кожен ненульовий елемент $a\in K$ можна записати як $a={\omega }^n\cdot u$, де $u$ — одиничний елемент, $n$ — ціле число, яке визначається однозначно за $a$.
• Зокрема $|a|=|k{|}^{-n}=|\omega {|}^n.$

Див. також

• Абсолютне значення (алгебра)
• Нормування (алгебра)
• P-адичне число

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation