Вписаний чотирикутник

Вписаний чотирикутник

В Евклідовій геометрії вписаний чотирикутникШаблон:Sfn — це чотирикутник, вершини якого лежать на одному колі.

Це коло називається описаним колом, а вершини є конциклічними. Центр описаного навколо чотирикутника кола лежить на перетині його серединних перпендикулярів.

Інші назви цих чотирикутників — це конциклічні чотирикутники та хордальні чотирикутники, оскільки сторони чотирикутника — це хорди описаного кола.

Вписаний чотирикутник може бути опуклим або перехрещеним чотирикутником. Формули та властивості, наведені нижче, стосуються опуклих вписаних чотирикутників.

Особливі випадки

Приклади вписаних чотирикутників.

Не кожен чотирикутник можна вписати в коло. Прикладом чотирикутника, який не можна вписати, є не квадратний ромб, або нерівнобічна трапеція.

Будь-який квадрат, прямокутник, рівнобедрену трапецію або антипаралелограм можна вписати в коло.Шаблон:Sfn

Дельтоїд можна вписати, тоді й лише тоді, коли він має два протилежні прямі кути, що лежать між сторонами різної довжини, тобто коли дельтоїд є прямокутним.

Біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який також є описаним.

Зовні-біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який є також зовні-описаним.

Зовні-описаний чотирикутник — опуклий чотирикутник, у якого прямі, на яких лежать його сторони, є дотичними до певного кола поза чотирикутником.

Гармонійний чотирикутник — це чотирикутник, який можна вписати в коло та добутки довжин протилежних сторін якого рівні.

Пов'язані визначення

Вписаний чотирикутник. Бівисоти та бімедіани.

Для кожної сторони вписаного чотирикутника можна провести пряму, яка буде перпендикулярна цій стороні і проходити через середину протилежної сторони.

Відрізки цих прямих між сторонами називають бівисотами (або антимедіатрисами, по аналогії із серединним перпендикуляром (медіатрисою) до сторони трикутника). Опуклий вписаний чотирикутник має чотири бівисоти (KY, LV, MX та NW), які є конкурентними прямими, тобто перетинаються в одній точці Т — антицентрі чотирикутникаШаблон:Rp.

Відрізки, що сполучають середини протилежних сторін (KM, LN), називаються бімедіанами чотирикутника.

Бімедіани чотирикутника перетинаються в точці G_v — вершинному центроїді чотирикутника (центр тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника). Шаблон:-

Умови, за яких чотирикутник є вписаним

Вписаний чотирикутник Шаблон:Math

У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був вписаним.

• Опуклий чотирикутник можна вписати тоді й лише тоді, коли чотири перпендикуляри до середин сторін є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці. Ця спільна точка є центром описаного кола.
• Сума протилежних кутів.

  Опуклий чотирикутник Шаблон:Math можна вписати тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює180⁰Шаблон:Sfn,:

  $\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi (=180^{\circ }).$

  Ця теорема є положенням 22 в трактаті Евкліда «Начала».

Прямі m1 та m2 антипаралельні відносно прямих l1 та l2

Це твердження еквівалентне наступному:

Опуклий чотирикутник можна вписати в коло тоді і тільки тоді, коли кожен його зовнішній кут дорівнює протилежному внутрішньому куту.

Тобто, якщо дві протилежні сторони чотирикутника є Шаблон:Не перекладено відносно двох інших сторін.

Наслідок:

В термінах тангенсів половинних кутів, це твердження можна записати наступним чином:

$\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}+\frac{\gamma }{2}=\frac{\beta }{2}+\frac{\delta }{2}=90^{\circ },\\ \mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\alpha }{2}+\frac{\gamma }{2})=\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\beta }{2}+\frac{\delta }{2})=\mathrm{t}\mathrm{g}90^{\circ },\\ \frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}{1-\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\beta }{2}\right)+\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\delta }{2}\right)}{1-\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\beta }{2}\right)\cdot \mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\delta }{2}\right)}=\mathrm{\infty }\end{array}$

Це означає, що чотирикутник вписано тоді і тільки тоді, коли виконується рівність: $\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\gamma }{2}\right)=\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\beta }{2}\right)\cdot \mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\delta }{2}\right)=1.$

• Кути між сторонами та діагоналями.

  Ще одна необхідна і достатня умова, щоб опуклий чотирикутник Шаблон:Math був вписаним — кут між стороною та діагоналлю повинен дорівнювати куту між протилежною стороною та іншою діагоналлюШаблон:SfnШаблон:Rp.

  Тобто, наприклад, $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }ACD.$

• Теорема Птолемея виражає добуток довжин двох діагоналей p і q вписаного чотирикутника, як суму добутків протилежних сторінШаблон:RpШаблон:Rp:

  $p\cdot q=a\cdot c+b\cdot d.$

  Має місце обернена теорема. Тобто, якщо ця рівність виконується для опуклого чотирикутника, тоді він є вписаним в коло.

• Теорема про перетин хорд.

  Якщо дві прямі, одна, що містить відрізок Шаблон:Math, а інша, що містить відрізок Шаблон:Math, перетинаються в точці Шаблон:Math, то чотири точки Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math є конциклічними (тобто, є вершинами вписаного чотирикутника, без урахування порядку вершин), тоді й лише тоді, коли

  $AP\cdot PC=BP\cdot PD.$

  Точка перетину Шаблон:Math може бути як зовні так і всередині кола. У першому випадку описаний чотирикутник — Шаблон:Math, а в другому випадку вписаний чотирикутник — Шаблон:Math. Коли перетин є внутрішнім, рівність зазначає, що добуток відрізка довжини, на який Шаблон:Math ділить одну діагональ, дорівнює іншій діагоналі. Це твердження відомо як теорема про перетин хорд, оскільки діагоналі вписаного чотирикутника є хордами.

Шаблон:Math — вписаний чотирикутник.PFG — діагональний трикутник Шаблон:Math. Точка T перетину бімедіан Шаблон:Math належить колу дев'яти точок трикутника PFG.

• Нехай PFG є діагональним трикутником в опуклому чотирикутнику Шаблон:Math (точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника, G — точка перетину продовжень сторін AB та DC, F — точка перетину продовжень сторін AD та BC). І нехай $\omega$ — коло дев'яти точок трикутника PFG.

  Шаблон:Math можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли точка T перетину бімедіан KL та XV чотирикутника Шаблон:Math належить цьому колу дев'яти точок..

Чотирикутник вписаний в коло, якщо точки О, Р, Q лежать на одній прямій

• Точки Паскаля

  Нехай в опуклому чотирикутнику ABCD, E — точка перетину діагоналей, а F — точка перетину продовжень сторін AD та BC. І нехай  $\omega$ — коло, діаметром якого є відрізок EF, що формує на сторонах AB та CD точки Паскаля P та Q (див. мал.)

  1. Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q колінеарні з центром O кола $\omega$ .
  2. Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q є серединами сторін AB та CD.

Площа

Вписаний чотирикутник

Площа Шаблон:Math вписаного чотирикутника зі сторонами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math обчислюється за формулою БрахмагуптиШаблон:Rp

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

де півпериметр Шаблон:Math.

Формула є наслідком формули Бретшнайдера для довільного чотирикутника, оскільки протилежні кути є суміжними для вписаного чотирикутника.

Якщо Шаблон:Math, то вписаний чотирикутник стає трикутником, а формула зводиться до формули Герона.

Формулу Брамагупти можна записати через довжини сторін чотирикутника наступним чином:

$S=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}$

Вписаний чотирикутник має максимальну площу серед усіх чотирикутників, що мають однакову послідовність довжин сторін. Це ще один наслідок формули Бретшнайдера. Також це можна довести за допомогою математичного аналізу.

Якщо є чотири неоднакові довжини, кожна менша від суми трьох інших, то вони будуть сторонами для трьох неконгруентних вписаних чотирикутниківШаблон:Rp, які за формулою Брахмагупти мають однакову площу. Зокрема, для сторін Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math сторона Шаблон:Math може бути протилежною будь-якій зі сторін Шаблон:Math, Шаблон:Math або Шаблон:Math.

Площу вписаного чотирикутника з послідовними сторонами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math та кутом Шаблон:Math між сторонами Шаблон:Math і Шаблон:Math можна виразити якШаблон:Rp

$S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin B$

абоШаблон:Rp

$S=\frac{1}{2}(ac+bd)\sin \phi$,

де $\phi$ — будь-який кут між діагоналями.

За умови, що Шаблон:Math не є прямим кутом, площа також може бути виражена якШаблон:Rp

$S=\frac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\mathrm{t}\mathrm{g}A.$

Інша формула такаШаблон:Rp

$S=2R^2\cdot \sin A\sin B\sin \phi ,$

де Шаблон:Math — радіус описаного кола. Як прямий наслідок цієї формули,

$S⩽2R^2$

де рівність буде, тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.

Діагоналі

Вписаний чотирикутник

У вписаному чотирикутнику з послідовними вершинами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math і сторонами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math, довжини діагоналей Шаблон:Math і Шаблон:Math можна виразити через довжини сторін якШаблон:RpШаблон:Rp

$p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$ та $q=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}$,

що доводить теорему Птолемея

$p\cdot q=a\cdot c+b\cdot d.$

Відповідно до другої теореми ПтолемеяШаблон:Rp

$\frac{p}{q}=\frac{ad+bc}{ab+cd}$,

в тих же позначеннях, що і вище.

Для суми діагоналей маємо нерівністьШаблон:Rp

$p+q⩾2\sqrt{ac+bd}.$

Рівність справедлива тоді й лише тоді, коли діагоналі мають однакову довжину, що можна довести за допомогою нерівності середнього арифметичного та геометричного.

Більше тогоШаблон:Rp,

$(p+q{)}^2⩽(a+c{)}^2+(b+d{)}^2.$

У будь-якому опуклому чотирикутнику дві діагоналі розділяють чотирикутник на чотири трикутники; у вписаному чотирикутнику протилежні пари цих чотирьох трикутників подібні між собою.

Якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math — середини діагоналей Шаблон:Math і Шаблон:Math, а точки Шаблон:Math і Шаблон:Math — точки перетину прямих, на яких лежать протилежні сторони чотирикутника, то :

$\frac{MN}{EF}=\frac{1}{2}|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}|,$

Якщо діагоналі Шаблон:Math і Шаблон:Math вписаного чотирикутника Шаблон:Math перетинаються у точці P, то

$\frac{AP}{PC}=\frac{AB}{CB}\cdot \frac{AD}{CD}.$

Множина сторін, які можуть утворювати вписаний чотирикутник, може бути впорядкована у будь-якій з трьох різних послідовностей, кожна з яких може утворювати вписаний чотирикутник тієї самої площі в одному і тому ж колі (їх площа буде однакова за формулою площі Брахмагупти). Будь-які з цих вписаних чотирикутників мають одну спільну довжину діагоналіШаблон:Rp.

Формули кута

Для вписаного чотирикутника із послідовними сторонами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, півпериметром Шаблон:Math та кутом Шаблон:Math між сторонами Шаблон:Math та Шаблон:Math тригонометричні функції від Шаблон:Math задаються формулами

$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)},$

$\sin A=\frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},$

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.$

Кут Шаблон:Math між діагоналями можна знайти за формулою:Шаблон:Rp

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\phi }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.$

Якщо продовження протилежних сторін Шаблон:Math і Шаблон:Math перетинаються під кутом Шаблон:Math, то

$\cos \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d{)}^2}{(ab+cd)(ad+bc)}},$

де Шаблон:Math — півпериметрШаблон:Rp.

Формула описаного кола Парамешвара

Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math і півпериметром Шаблон:Math має описане коло радіуса

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.$

Цю формулу отримав індійський математик Шаблон:Нп у 15 столітті.

Якщо скористатися формулою Брахмагупти, формулу Парамешвари можна отримати в наступному вигляді:

$4S\cdot R=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)},$

де S — площа вписаного чотирикутника.

Інші властивості

Японська теорема

• Японська теорема про вписаний чотирикутник.

  У вписаному чотирикутнику Шаблон:Math інцентри M₁, M₂, M₃, M₄ (див. рисунок праворуч) у трикутниках Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, та Шаблон:Math є вершинами прямокутника.

  Крім того, якщо точки P, Q, R, S є серединами відповідно дуг AB, BC, CD та AD описаного кола, то відрізки PR та QS є паралельними до сторін цього прямокутника і перетинаються в його центрі.Шаблон:Rp.

• Сума радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABC та ∆ACD дорівнює сумі радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABD та ∆BCDШаблон:Rp.

Узагальнення японської теореми про вписаний чотирикутник

• Також, якщо з'єднати між собою центроїди G_A, G_B, G_C, G_D трикутників ∆ABD, ∆ABC , ∆BCD, ∆ACD, їх центри кіл дев'яти точок N_A, N_B, N_C, N_D, та їх ортоцентри H_A, H_B, H_C, H_D, отримаємо три чотирикутника, що подібні до вихідного чотирикутника ABCD. А чотирикутник H_AH_BH_CH_D крім того є ще і конгруентним (рівним) ABCD.Шаблон:Rp.

  Нехай у вписаному опуклому чотирикутнику ABCD:

  G — точка перетину прямих G_AG_C та G_BG_D,

  Н — точка перетину прямих H_AH_C та H_BH_D.

  O — центр описаного кола.

  Тоді, точки H, G і O лежать на одній прямій і HG:GO = 2:1.

• Наслідок теореми про вписаний кут та теореми про зовнішній кут.

  У вписаному чотирикутнику Шаблон:Math з центром описаного кола — Шаблон:Math, через Шаблон:Math позначимо точку, в якій перетинаються діагоналі Шаблон:Math і Шаблон:Math. Тоді кут Шаблон:Math — це середнє арифметичне кутів Шаблон:Math і Шаблон:Math.

• Не існує вписаних чотирикутників площа яких є раціональним числом, а сторони є нерівними раціональними числами або в арифметичній, або в геометричній прогресії.      

• Якщо вписаний чотирикутник має довжини сторін, які утворюють арифметичну прогресію, чотирикутник також є зовнішньо-описаним.
• Якщо прямі на яких лежать протилежні сторони вписаного чотирикутника перетинаються в точках Шаблон:Math та Шаблон:Math, то внутрішні бісектриси кутів в точках E і F — перпендикулярніШаблон:Rp.
• Узагальненням до теореми Птолемея є: теорема Пурсера, та перша й друга теореми Кейсі.

Чудові точки та лінії чотирикутника

Антицентр та колінеарність

У вписаному в коло чотирикутнику, чотири його бівисоти перетинаються в одній точці Н. Ця точка називається антицентром чотирикутника. Шаблон:Hider

Антицентр вписаного чотирикутника

В опуклому чотирикутнику дві його бімедіани перетинаються в точці G_v — вершинному центроїді чотирикутника, центру тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника

1. Антицентр має властивість бути відображенням центру описаного кола О відносно «вершинного центроїда». Таким чином, у вписаному чотирикутнику центр описаного кола, «вершинний центроїд» та антицентр є колінеарнимиШаблон:Rp, тобто, лежать на одній прямій. Крім того вершинний центроїд чотирикутника знаходиться в середині відрізка HO. Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Ейлера.
2. Нехай протилежні сторони AB та CD описаного чотирикутника перетинаються в точці Е. Точки S та Q — середини ціх сторін. Тоді, перпендикуляр, проведений з т Е на пряму SQ, проходить через антицентр H чотирикутника.Шаблон:Rp
3. Нехай центр О описаного кола чотирикутника симетрично відображено відносно його протилежних сторін в точки O₁ та O₂. Тоді пряма O₁O₂ проходить через антицентр H чотирикутника.Шаблон:Rp
4. Якщо діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються в Шаблон:Math, а середні точки діагоналей позначено як Шаблон:Math і Шаблон:Math, то антицентр Н чотирикутника є ортоцентром трикутника Шаблон:MathШаблон:Rp, а вершинний центроїд G_v чотирикутника знаходиться в середині відрізка MN (Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Гауса)
5. Антицентр вписаного чотирикутника є точкою Понселе його вершин.

Центроїд площі G опуклого чотирикутника (в тому числі і вписаного в коло) знаходиться в точці перетину відрізків G_AG_C та G_BG_D, що сполучають центроїди трикутників, на які чотирикутник розділяється своїми діагоналями (∆ABD, ∆BCD, ∆ABC, ∆ACD).

У вписаному чотирикутнику «центроїд площі» G, «центроїд вершин» G_v і точка P перетину діагоналей лежать на одній прямій. Для відстаней між цими точками виконується рівність:

$PG=\frac{4}{3}P{G}_v$

Чотирикутники Брахмагупти

Чотирикутник Брахмагупти — це вписаний чотирикутник з цілими довжинами сторонами, цілими довжинами діагоналей та цілою площею. Усі чотирикутники Брахмагупти зі сторонами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, діагоналями Шаблон:Math, Шаблон:Math, площею Шаблон:Math і радіусом описаного кола Шаблон:Math можна отримати, якщо позбутися знаменників в наступних виразах, що містять раціональні параметри Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math:

$a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]$

$b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$

$c=t(1+u^2)(1+v^2)$

$d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$

$e=u(1+t^2)(1+v^2)$

$f=v(1+t^2)(1+u^2)$

$K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]$

$4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Вписаний чотирикутник з перпендикулярними діагоналями (ортодіагональний)

Описане коло і площа

Для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним (має перпендикулярні діагоналі), припустимо, що перетин діагоналей ділить одну діагональ на відрізки довжини Шаблон:Math та Шаблон:Math, а іншу діагональ ділить на відрізки довжиною Шаблон:Math та Шаблон:Math. ТодіШаблон:Rp (перша рівність — це твердження 11 у «Книзі лем» Архімеда)

$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2$

де Шаблон:Math — діаметр описаного кола. Це справедливо, оскільки діагоналі — це перпендикулярні хорди кола. З цих рівнянь випливає, що радіус описаного кола Шаблон:Math може бути виражений як

$R=\frac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}$

або, через сторони чотирикутника, як

$R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.$

З цього також випливає

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

Таким чином, згідно з теоремою Ейлера про чотирикутник, радіус описаного кола може бути виражений через діагоналі Шаблон:Math і Шаблон:Math та відстань Шаблон:Math між серединами діагоналей як

$R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}$

Формула для площі Шаблон:Math вписаного ортодіагонального чотирикутника через довжини сторін отримується безпосередньо при поєднанні теореми Птолемея і формули площі ортодіагонального чотирикутника. РезультатШаблон:Rp:

$S=\frac{1}{2}(ac+bd).$

Інші властивості

• У вписаному ортодіагональному чотирикутнику антицентр збігається з точкою перетину діагоналей.
• Теорема Брамагупти стверджує, що для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним, перпендикуляр до будь-якої сторони, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить протилежну сторону навпілШаблон:Rp
• Якщо вписаний чотирикутник також є ортодіагональним, відстань від центру описаного кола до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони.
• У вписаному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами діагоналей дорівнює відстані між центром описаного кола та точкою перетину діагоналей.

Вписані сферичні чотирикутники

У сферичній геометрії сферичний чотирикутник, утворений при перетині чотирьох великих кіл, буде вписаним тоді, і лише тоді, коли суми протилежних кутів однакові, тобто α + γ = β + δ для послідовних кутів α, β, γ, δ чотирикутника. В одному напрямку ця теорема була доведена І. А. Лекселем у 1786 році. Лексель показав, що у сферичному чотирикутнику, вписаному в мале коло сфери, суми протилежних кутів рівні, і що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. Перша з цих теорем — сферичний аналог плоскої теореми, а друга теорема — їй дуальна, тобто, вона є результатом заміни великих кіл та їх полюсів. Кіпер та ін. довели обернену теорему: «Якщо суми протилежних сторін рівні в сферичному чотирикутнику, то для цього чотирикутника існує вписане коло».

Див. також

• Вписаний кут
• Описане коло
• Описаний чотирикутник
• Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник
• Теорема Кейсі
• Теорема про метелика
• Степінь точки відносно кола
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• D. Fraivert: Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

Посилання

• Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral Шаблон:Webarchive
• Incenters in Cyclic Quadrilateral Шаблон:Webarchive в cut-the-knot
• Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral Шаблон:Webarchive в cut-the-knot
• Шаблон:MathWorld
• Euler centre and maltitudes of cyclic quadrilateral Шаблон:Webarchive в Dynamic Geometry Sketches Шаблон:Webarchive, інтерактивне геометричне креслення.