Формула Бретшнайдера

Чотирикутник

У геометрії формулою Бретшнайдера є наступний вираз для обчислення площі загального чотирикутника :

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

$=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )]}.$

Тут Шаблон:Math , Шаблон:Math , Шаблон:Math , Шаблон:Math - сторони чотирикутника, Шаблон:Math - півпериметр , а Шаблон:Math і Шаблон:Math - два протилежні кути.

Формулу Бретшнайдера можна застосовувати для обчислення площі будь-якого чотирикутника.

Німецький математик Карл Антон Бретшнайдер відкрив формулу в 1842 році. У тому ж році формулу отримав і німецький математик Карл Георг Крістіан фон Штаудт.

Доведення

Позначимо площу чотирикутника за Шаблон:Math. Тоді ми маємо

$\begin{array}{cc}S& =\text{площа }\mathrm{△}ADB+\text{площа }\mathrm{△}BDC\\ & =\frac{ad\sin \alpha }{2}+\frac{bc\sin \gamma }{2}.\end{array}$

Тому

$2S=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .$

$4S^2=(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

З теореми косинусів випливає, що

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

оскільки обидві сторони дорівнюють квадрату довжини діагоналі Шаблон:Math. Це можна записати як

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Додавання цього до вищенаведеної формули для Шаблон:Math дає

$\begin{array}{cc}4S^2+\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}& =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd(\cos (\alpha +\gamma )+1)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd\left(\frac{\cos (\alpha +\gamma )+1}{2}\right)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).\end{array}$

Зауважте, що: ${\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{1+\cos (\alpha +\gamma )}{2}$ (тригонометрична тотожність правильна для всіх $\frac{\alpha +\gamma }{2}$)

Слідуючи тими ж кроками, що й у формулі Брахмагупти, це можна записати так

$16S^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

Введемо півпериметр

$p=\frac{a+b+c+d}{2},$

отримуємо

$16S^2=16(p-d)(p-c)(p-b)(p-a)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

формула Бретшнайдера випливає після взяття квадратного кореня з обох сторін:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

Пов'язані формули

Формула Бретшнайдера узагальнює формулу Брахмагупти для площі вписаного чотирикутника, яка у свою чергу узагальнює формулу Герона для площі трикутника.

Тригонометричне перетворення у формулі Бретшнайдера для невписаного чотирикутника може бути подано нетригонометрично в термінах сторін та діагоналей Шаблон:Math та Шаблон:Math

$\begin{array}{cc}S& =\frac{1}{4}\sqrt{4e^2{f}^2-(b^2+d^2-a^2-c^2{)}^2}\\ & =\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}.\end{array}$

Посилання та подальше читання

• Аюб Б. Аюб: Узагальнення теорем Птолемея і Брахмагупти . Математика та комп'ютерна освіта, том 41, № 1, 2007, Шаблон:ISSN
• EW Hobson : Трактат про плоску тригонометрію . Cambridge University Press, 1918, с.   204–205 ( онлайн-копія )
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 225-261 ( електронна копія, німецька Шаблон:Webarchive )
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen і sphärischen Viereck і Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 323-326 ( електронна копія, німецька Шаблон:Webarchive )

Зовнішні посилання

• Шаблон:MathWorld
• Bretschneider's formula Шаблон:Webarchive на proofwiki.org