Позбавлення від знаменників

У математиці метод позбавлення від знаменників, також званий позбавленням від дробів — техніка спрощення рівняння, в якому прирівнюються два вирази, кожен з яких є сумою раціональних виразів, включно зі звичайними дробами.

Приклад

Розглянемо рівняння

$\frac{x}{6}+\frac{y}{15z}=1.$

Найменше спільне кратне двох знаменників $6$ і $15z$ дорівнює $30z$, тому обидві частини множимо на $30z$:

$5xz+2y=30z.$

Результатом є рівняння без дробів.

Спрощене рівняння не зовсім еквівалентне початковому: коли в останнє рівняння підставити $y=0$ і $z=0$, обидві частини спрощуються до $0$, тому отримуємо правильну рівність $0=0$. Але така ж заміна, застосована до початкового рівняння, призводить до $x/6+0/0=1$, що не має сенсу.

Опис

Шаблон:Нп можна вважати, що Шаблон:Нп рівняння дорівнює 0, оскільки рівняння Шаблон:Nobr можна еквівалентно переписати у вигляді Шаблон:Nobr.

Отже, нехай рівняння має вигляд

$\sum _{i=1}^n\frac{P_i}{Q_i}=0.$

Першим кроком є визначення спільного знаменника Шаблон:Mvar цих дробів — бажано найменшого спільного знаменника, який є найменшим спільним кратним Шаблон:Mvar.

Це означає, що кожен Шаблон:Mvar є множником Шаблон:Mvar, тому Шаблон:Nobr для деякого виразу Шаблон:Mvar, який не є дробом. Потім

$\frac{P_i}{Q_i}=\frac{R_i{P}_i}{R_i{Q}_i}=\frac{R_i{P}_i}{D},$

за умови, що Шаблон:Mvar не набуває значення 0 — у цьому випадку Шаблон:Mvar також дорівнює 0.

Маємо

$\sum _{i=1}^n\frac{P_i}{Q_i}=\sum _{i=1}^n\frac{R_i{P}_i}{D}=\frac{1}{D}\sum _{i=1}^n{R}_i{P}_i=0.$

За умови, що Шаблон:Mvar не набуває значення 0, останнє рівняння еквівалентне

$\sum _{i=1}^n{R}_i{P}_i=0,$

у якому знаменники відсутні.

Як показано вище, слід бути уважним, щоб уникнути сторонніх розв'язків, за яких Шаблон:Mvar перетворюється на нуль.

Приклад 2

Розглянемо рівняння

$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}=0.$

Найменший спільний знаменник дорівнює Шаблон:Nobr.

Дотримання методу, описаного вище, приводить до

$(x+2)+(x+1)-x=0.$

Подальше спрощення дає розв'язок Шаблон:Nobr.

Легко перевірити, що жоден із нулів Шаблон:Nobr — а саме Шаблон:Nobr, Шаблон:Nobr та Шаблон:Nobr — не є розв'язком остаточного рівняння, тому хибних розв'язків немає.

Література

• Шаблон:Cite book