Теорема про метелика

Шаблон:Center

Теорема про метелика — це класична теорема геометрії Евкліда, яку можна сформулювати такШаблон:Rp:

Нехай Шаблон:Math — середина хорди Шаблон:Math кола, через яку проведено дві інші хорди Шаблон:Math і Шаблон:Math; хорди Шаблон:Math і Шаблон:Math перетинають хорду Шаблон:Math у точках Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно. Тоді Шаблон:Math — середина відрізка Шаблон:Math.

Доведення

Шаблон:Center

Формальне доведення теореми таке:
Нехай з точки Шаблон:Math опущено перпендикуляри Шаблон:Math і Шаблон:Math на прямі Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно. Аналогічно, нехай з точки Шаблон:Math опущено перпендикуляри Шаблон:Math і Шаблон:Math на прямі Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно.

Оскільки має місце подібність трикутників

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime }$ за трьома кутами,

то

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}.$

Аналогічно, будуть подібні трикутники

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″},$

тому виконується

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}.$

Також, будуть подібні трикутники

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″},$

звідки

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY}.$

І, насамкінець, з подібності

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime },$

тому

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{DX}{BY}.$

З попередніх рівнянь і теореми про відрізки хорд, що перетинаються, видно, що

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}=$

$=\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY}=$

$=\frac{PX\cdot QX}{PY\cdot QY}=$

$=\frac{(PM-XM)\cdot (MQ+XM)}{(PM+MY)\cdot (QM-MY)}=$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$

оскільки Шаблон:Math.
Тому

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

Використавши основну властивість пропорції, маємо, що

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2.$

Звівши подібні доданки

$(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2$

з обох сторін отриманого рівняння, отримаємо

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2.$

Отже, Шаблон:Math, оскільки довжини MX, MY та PM — це додатні дійсні числа.
Таким чином, Шаблон:Math — середина Шаблон:Math .

Існують інші доведення, зокрема той, що використовує методи проективної геометрії.

Історія

Доведення теореми про метелика було представлено як розв'язок задачі Шаблон:Нп у «The Gentlemen's Mathematical Companion» (1803). Три рішення були опубліковані в 1804 році, і в 1805 році сер Вільям Гершель знову поставив задачу в листі до Уоллеса. Преподобний Томас Скарр знову поставив те саме запитання в 1814 році в Gentlemen's Diary or Mathematical Repository.

Посилання

• Теорема про метелика Шаблон:Webarchive
• Краща теорема про метелика Шаблон:Webarchive
• Доведення теореми про метелика Шаблон:Webarchive на PlanetMath
• Теорема про метелика Шаблон:Webarchive Джея Варендорфа
• Шаблон:MathWorld