Арифметична прогресія

Арифмети́чна (аритмети́чна) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного й того ж числа. Загальний вид арифметичної прогресії:

$a_1,a_1+d,a_1+2d,\dots ,a_1+(n-1)d,\dots$

де $a_1$ — це перший член прогресії, $d=a_{n+1}-a_n$.

Число $d$ називають різницею арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо $d>0$, то вона зростає, а при $d<0$ вона спадає. Якщо $d=0$, то прогресія є сталою.

Знаходження $n$-го члена арифметичної прогресії

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

$a_n=a_{n-1}+d$

За означенням арифметичної прогресії:

$a_2=a_1+d;$

$a_3=a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d;$

$a_4=a_3+d=(a_1+2d)+d=a_1+3d;$

$a_5=a_4+d=(a_1+3d)+d=a_1+4d;\dots$

Простежується закономірність $a_n=a_1+(n-1)d$.

Властивість арифметичної прогресії

Виразимо члени $a_{n-1}$ та $a_{n+1}$ через $a_n$ і $d$:

$a_{n-1}=a_n-d$ і $a_{n+1}=a_n+d$

Знайдемо їхнє середнє арифметичне:

$\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{a_n-d+a_n+d}{2}=\frac{a_n+a_n}{2}=a_n$

Тобто, будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх членів.

$\mathrm{\forall }n\ge 2$, $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Сума перших членів арифметичної прогресії

Сума n послідовних членів починаючи з першого члена

Запишемо суму послідовних членів арифметичної прогресії двома способами:

$S_n=a_1+(a_1+d)+\dots +(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_1+(n-1)d)+(a_1+(n-2)d)+\dots +(a_1+d)+a_1$

Додамо ці два вирази:

$2S_n=(2a_1+(n-1)d)+(2a_1+(n-1)d)+\dots +(2a_1+(n-1)d)+(2a_1+(n-1)d)$

$2S_n=n(2a_1+(n-1)d)$

Поділимо обидві частини на 2:

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n=\frac{a_1+a_1+(n-1)d}{2}n=\frac{a_1+a_n}{2}n$

Отже, сума $n$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=\frac{a_1+a_n}{2}n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n$

Сума n послідовних членів починаючи з k-го члена

Із арифметичної прогресії $\{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_k,a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+n-1},\dots \}$ можна виділити підпослідовність $\{b_n=a_{k+n-1}\}$, що є арифметичною прогресією. Тоді сума $n$ перших членів $\{b_n\}$:

$S_n=\frac{b_1+b_n}{2}n=\frac{a_k+a_{k+n-1}}{2}n$

Отже, сума $n$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з $k$-го члена:

$S_n=\frac{a_k+a_{k+n-1}}{2}n$

Сума перших n натуральних чисел

Анімоване доведення формули для знаходження суми перших n натуральних чисел

Суму перших $n$ натуральних чисел можна записати як:

$1+2+\cdots +n=S_n=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 1}{2}n=\frac{1+n}{2}n=\frac{n(n+1)}{2}$

Отже, сума перших $n$ натуральних чисел:

$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — $1+2+\dots +99+100$. Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: $1+100=101$, $2+99=101$ тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює $5050$. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули $\frac{n(n+1)}{2}$, тобто до формули суми перших $n$ чисел натурального ряду.

Див. також

• Монотонна послідовність
• Математична індукція
• Генеральна сукупність
• Геометрична прогресія
• Мультисекція ряду
• Узагальнена арифметична прогресія
• Фігурні числа
• Комбінаторика
• Рекурентне співвідношення
• Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії

Посилання на сторонні джерела

• Арифметичні послідовності на Mathworld Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• FIZMA.neT — математика онлайн Шаблон:Webarchive

Джерела

• Шаблон:Корн.Корн.Справочник
• Шаблон:Книга Шаблон:Ref-de