Узагальнена арифметична прогресія

Узага́льнена арифмети́чна прогре́сія — послідовність чисел або елементів довільної групи $G$, подавана у вигляді

$\left\{a+\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{d}_i:0\le {\lambda }_i<n_i,i=1,\dots ,k\right\}$

для деяких $d_1,\dots ,d_k,n_1,\dots ,n_k$.

Пов'язана термінологія

Прогресію називають власною, якщо всі числа вигляду $a+\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{d}_i$ різні, тобто вона містить $n_1\cdot \dots \cdot n_k$ елементів.

Рангом (або розмірністю) прогресії називають кількість доданків у поданні кожного елемента (в позначеннях вище — число $k$).

При $n_1=\dots =n_k=2$ узагальнену арифметичну прогресію також називають $d$-вимірним кубом (оскільки в нього існує лінійне відображення з ${\left\{0,1\right\}}^d$).

При $k=1$ множина являє собою звичайну арифметичну прогресію.

Галузь використання

Узагальнені арифметичні прогресії є конструкцією менш структурованою, ніж звичайна арифметична прогресія, проте їхня структура все ж нетривіальна (коли розмір прогресії великий, а ранг малий). Це робить їх зручним інструментом для вивчення та узагальнення теорем арифметичної комбінаторики, пов'язаних із виведенням структури з числових характеристик множини, таких як адитивна енергія, коефіцієнт подвоєння тощо.

Деякі структурні теореми адитивної комбінаторики доводять існування узагальненої арифметичної прогресії досить малого рангу і великого розміру в достатньо впорядкованих множинах або можливість покриття такої множини узагальненою арифметичною прогресією невеликого рангу і невеликого (обмеженого деякою формулою від розміру множини) розміру.

Узагальнені арифметичні прогресії можна використати для доведення теореми РотаШаблон:Sfn.

Взагалі, довести присутність у множині узагальнених арифметичних прогресій, виходячи з якихось відомих фактів про цю множину, часто легше, ніж довести присутність звичайних арифметичних прогресій.

Див. також

• Адитивна комбінаторика
• Теорема Фреймана

Література

• Шаблон:Книга