Ромб

Шаблон:Otheruses Шаблон:Багатокутник Ромб (Шаблон:Lang-el) — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Ромб, сторони якого утворюють прямий кут, називають квадратом.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Етимологія

Слово «ромб» походить від Шаблон:Lang-el (ромбос), що означає щось, що обертається^[1], утворене своєю чергою від дієслова ῥέμβω (рембо), що означає «обертаюся довкола»^[2]. Слово використовувалося Евклідом і Архімедом, які використовували термін «об'ємний суцільний ромб» для двох круглих конусів зі спільною основою^[3].

Та плоска фігура, яку ми сьогодні називаємо ромбом, є поздовжнім перетином того суцільного ромба, що проходить крізь вершини кожного з двох конусів.

Ознаки ромба

Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна з таких умов:

Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні): АВ = ВС = CD = AD
Його діагоналі перетинаються під прямим кутом: AC┴BD
Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:
∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC
Якщо всі висоти рівні: BN = DL = BM = DK
Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
Якщо в паралелограм можна вписати коло.

Властивості ромба

Кожен ромб має дві діагоналі, що з'єднують пари протилежних вершин, і має дві пари паралельних сторін. Використовуючи правила конгруентних трикутників, можна довести, що ромб є симетричним відносно кожної з його діагоналей. Звідси випливає, що ромб має такі властивості:

Це паралелограм, діагоналі якого розділяють внутрішній кут.
Протилежні кути ромба рівні.
Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, точка перетину є серединою кожної діагоналі.
Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.
Сторони ромба попарно паралельні.
Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
В будь-який ромб можна вписати коло.
Центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.
Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири: AC² + BD² = 4AB²

Однією з основних властивостей є те, що ромб - це паралелограм, внаслідок чого ромб має усі ті властивості, що й паралелограм. Наприклад,

протилежні сторони паралельні;
прилеглі кути є суміжними;
дві діагоналі поділяють одна одну навпіл;
будь-яка пряма, що проходить через центр, поділяє площу навпіл;
сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей (правило паралелограма).

Отож, якщо позначити сторону як a, а діагоналі як d₁ і d₂, то для кожного ромба

4 a^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} .

Не кожен паралелограм є ромбом, але кожен паралелограм, у якого діагоналі є перпендикулярними, є ромбом. В загальному випадку будь-який чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, одна з яких є лінією симетрії, - це дельтоїд.

Сторона ромба

Формули визначення довжини сторони ромба

1. Формула сторони ромба через площу і висоту:

a = \frac{S}{h}

2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:

a = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\sin α}}

a = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\sin β}}

3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:

a = \frac{S}{2 r}

4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:

a = \frac{\sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}}{2}

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):

a = \frac{d_{1}}{\sqrt{2 + 2 \cos α}}

a = \frac{d_{2}}{\sqrt{2 - 2 \cos β}}

6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:

a = \frac{d_{1}}{2 \cos \frac{α}{2}}

a = \frac{d_{1}}{2 \sin \frac{β}{2}}

7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:

a = \frac{d_{2}}{2 \cos \frac{β}{2}}

a = \frac{d_{2}}{2 \sin \frac{α}{2}}

8. Формула сторони ромба через периметр:

a = \frac{P}{4}

Діагоналі ромба

Діагональ ромба — це відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.

Ромб має дві діагоналі — більшу d₁, та меншу — d₂

Формули визначення довжини діагоналі ромба

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d_{1} = a \sqrt{2 + 2 \cos α}

d_{1} = a \sqrt{2 - 2 \cos β}

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d_{2} = a \sqrt{2 + 2 \cos β}

d_{2} = a \sqrt{2 - 2 \cos α}

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d_{1} = 2 a \cdot \cos (α / 2)

d_{1} = 2 a \cdot \sin (β / 2)

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d_{2} = 2 a \cdot \sin (α / 2)

d_{2} = 2 a \cdot \cos (β / 2)

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

d_{1} = \sqrt{4 a^{2} - d_{2}^{2}}

d_{2} = \sqrt{4 a^{2} - d_{1}^{2}}

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

d_{1} = d_{2} \cdot \tan (β / 2)

d_{2} = d_{1} \cdot \tan (α / 2)

7. Формули діагоналей через площу і другу діагональ:

d_{1} = \frac{2 S}{d_{2}}

d_{2} = \frac{2 S}{d_{1}}

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

d_{1} = \frac{2 r}{\sin (α / 2)}

d_{2} = \frac{2 r}{\sin (β / 2)}

Периметр ромба

Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4 \cdot a

Площа ромба

Ромб. Кожен кут, який відмічений чорною точкою є прямим кутом. Висота h є перпендикуляром між двома протилежними сторонами, яка дорівнює діаметру вписаного кола. Діагоналі з довжиною відміченими червоними пунктирними відрізками.

Площа ромба — це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

Формули визначення площі ромба

1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

S = a \cdot h

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:

S = a^{2} \cdot \sin α = a^{2} \cdot \sin β

3. Формула площі ромба через сторону і радіус:

S = 2 a \cdot r

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

S = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

S = \frac{4 \cdot r^{2}}{\sin α}

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

S = \frac{1}{2} d_{1}^{2} \cdot \tan (\frac{α}{2}),

S = \frac{1}{2} d_{2}^{2} \cdot \tan (\frac{β}{2})

Коло, вписане у ромб

Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб

1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

r = \frac{h}{2}

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

r = \frac{S}{2 a}

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

r = \frac{\sqrt{S \cdot \sin α}}{2}

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

r = \frac{a \cdot \sin α}{2}

r = \frac{a \cdot \sin β}{2}

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

r = \frac{d_{1} \cdot \sin (α / 2)}{2}

r = \frac{d_{2} \cdot \sin (β / 2)}{2}

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

r = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2 \sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}}

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

r = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{4 a}

Рівняння

Сторони ромба, центр якого суміщено з центром координат із діагоналями, що розташовані на осях, будуть складатися із точок (x, y), що задовільняють рівняння

| \frac{x}{a} | + | \frac{y}{b} | = 1 .

Вершини знаходитимуться в точках $(\pm a, 0)$ і $(0, \pm b) .$ Це є особливим випадком супереліпса із експонентою 1.

Див. також

Примітки

Шаблон:Reflist

Посилання

Шаблон:Бібліоінформація

↑ Шаблон:Lang, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
↑ ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
↑ Шаблон:Cite web

[1] Шаблон:Lang, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

[2] ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

[3] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

[3]

Ромб

Зміст

Етимологія

Ознаки ромба

Властивості ромба

Сторона ромба

Формули визначення довжини сторони ромба

Діагоналі ромба

Формули визначення довжини діагоналі ромба

Периметр ромба

Площа ромба

Формули визначення площі ромба

Коло, вписане у ромб

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб

Рівняння

Див. також

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Ромб

Етимологія

Ознаки ромба

Властивості ромба

Сторона ромба

Формули визначення довжини сторони ромба

Діагоналі ромба

Формули визначення довжини діагоналі ромба

Периметр ромба

Площа ромба

Формули визначення площі ромба

Коло, вписане у ромб

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб

Рівняння

Див. також

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Пошук