Оператор Фредгольма

Оператор Фредгольма або оператор Нетера — лінійний оператор між векторними просторами для якого ядро і коядро мають скінченні розмірності. Лінійний оператор між скінченновимірними просторами очевидно завжди є фредгольмовим. Тому інтерес становить випадок нескінченновимірних просторів. Найчастіше фредгольмові оператори розглядають для банахових просторів і гільбертових просторів і додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Означення

Лінійний оператор $A:X\to Y$ між двома векторними просторами $X$ і $Y$ називають оператором Фредгольма, якщо

• Ядро $\ker A$ тобто множина $\{x\in X:Ax=0\}$ має скінченну розмірність
• Образ $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A$, тобто множина $\{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y$ має скінченну корозмірність у $Y$. Іншими словами коядро $Y/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A$ є скінченновимірним.

Найчастіше оператори розглядають для гільбертових чи банахових просторів і тоді, як правило, додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Множина операторів Фредгольма між просторами $X$ і $Y$ позначатиметься $𝒩(X,Y)$.

Число

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A)=\dim (\ker A)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A,Y)\in \mathbb{Z}$

називається індексом Фредгольма оператора $A$. Для скінченновимірних просторів усі лінійні оператори є фредгольмовими і для всіх операторів між скінченновимірними просторами $X$ і $Y$:

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A)=\dim (X)-\dim (Y).$

Приклади

Оператори зсуву

Нехай $H$ є гільбертовим простором із ортонормальним базисом $\{e_n\}$ проіндексованим натуральними числами. Правий оператор зсуву на k позицій за означенням є:

$S_k(e_n)=e_{n+k}.$

Він є ін'єктивним і має корозмірність $k$. Відповідно його індекс є рівним $-k$. Для лівого зсуву

$S_k^{*}(e_i)=\{\begin{array}{cc}{e}_{i-k},& i>k\\ 0,& i⩽k\end{array}$

ядро має розмірність k і оператор є сюр'єктивним, тобто індекс у цьому випадку є рівним $k$.

Інтегральний оператор

Шаблон:Докладніше Класичним інтегральним оператором Фредгольма називають оператор

$A:=I+T$,

де $I$ є тотожним оператором, а $T$ є цілком неперервним.

Наприклад на просторі неперервних функцій $C([a,b])$, або, більш загально, просторі функцій що є інтегровними із квадратом $L^2([a,b])$ оператор $A$ задається як

$(A\varphi )(x)=\varphi (x)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(x,y)\varphi (y)\mathrm{d}y$,

де ядро інтегрування $k$ є неперервним або квадратно інтегровним. Цей оператор є оператором Фредгольма з індексом 0. У теорії інтегральних рівнянь Фредгольма вивчаються рівняння $A\varphi (x)=f(x)$. Ключовим результатом теорії є альтернатива Фредгольма.

Тензорний добуток оператора Фредгольма і ізоморфізму

Якщо $A:H\to H$ є оператором Фредгольма над довільним комплексним векторним простором, а $S:{ℂ}^n\to {ℂ}^n$ є лінійним ізоморфізмом, то $\ker (A\otimes S)=\ker A\otimes {ℂ}^n,$ $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A\otimes S)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\otimes {ℂ}^n,$ і також $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A\otimes S)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A\otimes {ℂ}^n.$

Тому $A\otimes S$ теж є оператором Фредгольма і $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A\otimes S)=n\cdot \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A).$

Властивості

Всюди розглядається обмежений оператор Фредгольма між банаховими просторами.

• Образ (обмеженого) оператора Фредгольма між банаховими просторами є замкнутим підпростором.
• Якщо $A:X\to Y$ є оператором Фредгольма, то для скінченновимірного підпростору $\ker (A)$ існує замкнутий підпростір $W$ у $X$ для якого $X=\ker (A)\oplus W$. Обмеження $\tilde{A}:W\to \mathrm{ran}(A)$ оператора $A$ на цей підпростір є бієктивним оператором для якого обернений оператор теж є обмеженим. Таким чином для $A$ існує неперервний обернений оператор за винятком підпросторів скінченної розмірності.
• Спряжений до оператора Фредгольма оператор теж є фредгольмовим: $A\in 𝒩(X,Y)\iff A^{\text{'}}\in 𝒩(Y^{\text{'}},X^{\text{'}})$ і для індексів цих операторів: $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}{A}^{\text{'}}=-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}A$
• Композиція $B\circ A$ фредгольмових операторів є оператором Фредгольма з індексом $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}B\circ A=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}A+\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}B$
• Для (обмеженого) оператора Фредгольма: $A\in 𝒩(X,Y)$ і цілком неперервного оператора $S\in 𝒦(X,Y)$ оператор $A+S$ теж є фредгольмовим і $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A+S)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}A$
• Якщо на комутативній діаграмі із довільними векторними просторами і лінійними відображеннями між ними:

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & X& \stackrel{f}{\to }& Y& \stackrel{g}{\to }& Z& \to & 0\\ & & A\downarrow & & B\downarrow & & C\downarrow & & \\ 0& \to & X^{\prime }& \stackrel{f^{\prime }}{\to }& Y^{\prime }& \stackrel{g^{\prime }}{\to }& Z^{\prime }& \to & 0\end{array}$

обидва рядки є точними послідовностями і $A$ і $C$ є операторами Фредгольма, то і $B$ є оператором Фредгольма і $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}B=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}A+\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}C.$

• Із попереднього, якщо $K\in 𝒦(X,Y)$ (тобто є цілком неперервним), а $S\in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(X,Y)$ то $S+K$ є оператором Фредгольма індекс якого є рівним 0 (оскільки оборотний оператор є очевидно фредгольмовим із індексом 0). Навпаки, будь-який фредгольмів оператор індексу 0 є сумою оборотного і цілком неперервного операторів.
• Властивість Фредгольма і індекс також зберігаються при досить малих обмежених збуреннях, тобто $\mathrm{\forall }A\in 𝒩(X,Y)\mathrm{\exists }\epsilon :\mathrm{\forall }S\in ℬ(X,Y),\Vert S\Vert ⩽\epsilon \Rightarrow A+S\in 𝒩(X,Y),\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A+S)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}A$. Інакше кажучи, множина $𝒩(X,Y)$ є відкритою у множині $ℬ(X,Y)$ обмежених операторів. Індекс Фредгольма є константою на кожній компоненті зв'язності множини $𝒩(X,Y)$.
• Згідно теореми Аткінсона оператор $A:X\to Y$ є фредгольмовим, якщо і тільки якщо існують оператори $B_1,B_2$ і цілком неперервні оператори $K_1,K_2$ такі, що $A{B}_1=I_Y-K_1$ і $B_{2}A=I_X-K_2$.
• Якщо $A:X\to X$ є оператором Фредгольма, то існує $\epsilon >0$, що для всіх $\lambda \in ℂ$ для яких $0<|\lambda |<\epsilon$ виконуються нерівності:

1. $\dim \ker (A-\lambda I)\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\le \dim \ker A$ und
2. $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(A-\lambda I)\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\le \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A$

Зокрема $A-\lambda I$ є оператором Фредгольма із індексом $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A-\lambda I)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A)$.

Див. також

• Інтегральний оператор Фредгольма
• Теорія_Фредгольма
• Цілком неперервний оператор

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1