Клас Ейлера

У математиці, зокрема алгебричній топології, диференціальній геометрії і диференціальній топології, клас Ейлера є прикладом характеристичного класу для орієнтовних дійсних векторних розшарувань. Названий на честь Леонарда Ейлера оскільки у випадку дотичного розшарування многовиду він визначає його характеристику Ейлера.

Клас Ейлера можна задати у кілька еквівалентних способів: як обструкцію до існування перетинів, що не рівні нулю всюди, як обернене відображення орієнтаційної форми при перетині або із використанням пфаффіана і гомоморфізму Чженя — Вейля. Для плоских розшарувань існують і інші еквівалентні означення.

Основна ідея і мотивація

Клас Ейлера є характеристичним класом, зокрема топологічним інваріантом на орієнтовних векторних розшаруваннях: два ізоморфні орієнтовні векторні розшарування мають однакові класи Ейлера. У випадку диференційовних многовидів клас Ейлера дотичних розшарувань визначає характеристику Ейлера многовида.

Клас Ейлера є обструкцією для існування перетинів, що ніде не є рівними нулю. Зокрема характеристика Ейлера замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида характеристика Ейлера є обструкцією для існування векторних полів без сингулярних точок.

Для підмножини базового простору векторного розшарування і перетину, що ніде не є рівним нулю можна ввести відносний клас Ейлера. Він задає обструкцію до продовження перетину без нулів на весь базовий простір.

Означення

Аксіоматичне означення

Клас Ейлера повністю визначається аксіомами.

Для кожного орієнтовного, $n$-вимірного дійсного векторного розшарування $E\to X$ існує єдиним чином визначений елемент когомологічної групи

$e(E)\in H^n(X;\mathbb{Z})$

так, що при цьому виконуються умови:

• для кожного неперервного відображення $f:X^{\prime }\to X$ і обернених відображень векторних розшарувань, перетинів і когомологічних класів:

$e(f^{*}E)=f^{*}(e(E))$

• $e(E_1\oplus E_2)=e(E_1)\cup e(E_2)$
• для тавтологічного комплексного лінійного розшарування ${\gamma }^1\to ℂP^1$, яке розглядається як 2-вимірне дійсне векторне розшарування, елемент $e({\gamma }^1)\in H^2(ℂP^1;\mathbb{Z})$ є генератором групи $H^2(ℂP^1;\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$.

Когомологічний клас (елемент групи когомологій) $e(E)\in H^n(X;\mathbb{Z})$ називається класом Ейлера для розшарування $E$.

Означення в термінах теорії обструкцій

Для $n$-вимірного орієнтовного векторного розшарування $E\to |K|$ над геометричною реалізацією $|K|$ симпліційного комплексу $K$ означення Ейлера можна одержати за допомогою класу обструкції

$o_n(E)\in H^n(K;{\pi }_{n-1}(V_1({ℝ}^n))$

для продовження перетину асоційованому векторному розшаруванні на $n$-кістяк комплексу $K$.

Група коефіцієнтів

${\pi }_{n-1}(V_1({ℝ}^n))\simeq {\pi }_{n-1}({ℝ}^n-0)\simeq H_{n-1}({ℝ}^n-0;\mathbb{Z})\simeq H_n({ℝ}^n,{ℝ}^n-0;\mathbb{Z})$

є канонічно ізоморфною до $\mathbb{Z}$ і цей ізоморфізм відображає $o_n(E)$ на клас Ейлера $e(E)\in H^n(K;\mathbb{Z})$.

Означення за допомогою класу орієнтації

Для орієнтовного $n$-вимірного векторного розшарування $p:E\to M$ і $E_0\subset E$ — доповнення нульового перетину можна розглянути образ при $u{\mid }_E$ класу орієнтації (класу Тома).

$u\in H^n(E,E_0;\mathbb{Z})$

у $H^n(E;\mathbb{Z})$. Оскільки ${ℝ}^n$ є стягуваним простором, то $p:E\to M$ є гомотопною еквівалентністю і

$p^{*}:H^{*}(M;\mathbb{Z})\to H^{*}(E;\mathbb{Z})$

є ізоморфізмом. Клас Ейлера за означенням є

$e(E):=(p^{*}{)}^{-1}u{\mid }_E\in H^n(M;\mathbb{Z})$.

Еквівалентно $e(E)$ є рівним

$e(E):=s^{*}u{\mid }_E$

для довільного перетину $s:M\to E$ (наприклад нульового).

Якщо для розшарування $E\to M$ існує перетин, що ніде не є рівним нулю, тобто $s(M)\subset E_0,$ то $e(E)=0$.

Означення у теорії Чженя — Вейля

Якщо розглядати векторні розшарування над диференційовним многовидом $M$ то побудову варіанта класу Ейлера можна здійснити за допомогою теорії Чженя — Вейля. У цьому випадку клас Ейлера приймає значення у гомологічних групах із дійсними коефіцієнтами, тобто $H^{*}(M;ℝ)$. Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності клас Ейлера завжди є нульовим.

Для орієнтовного векторного розшарування розмірності $n=2k$ можна розглянути асоційоване $SO(2k)$-головне розшарування (реперне розшарування) $P\to M$.

Для $SO(2k)$-головного розшарування $P\to M$ із формою зв'язності $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P,so(2k))$ клас Ейлера $e(P)\in H_{dR}^{2k}(M)\simeq H^{2k}(M;ℝ)$ задається за допомогою пфаффіана кососиметричного оператора:

$Pf(A)=\frac{1}{2^{k}k!}\sum _{\sigma \in S_{2k}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\dots a_{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}$

для якого $Pf\in I^n(so(2k))$ і гомоморфізма Чженя — Вейля:

$I^k(so(2k))\to H_{dR}^{2k}(M)$.

А саме для форми кривини $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^2(M)$, яка є кососиметричною за допомогою пфаффіана одержується диференціальна форма

$\frac{1}{2^k{\pi }^{2k}}Pf(\mathrm{\Omega })(X_1,\dots ,X_{2k}):=\frac{1}{(2\pi {)}^{2k}}\frac{1}{(k)!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_{2k}}\mathrm{sign}(\sigma )Pf(\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))$

яка є замкнутою і задає клас у когомології де Рама, який і називається класом Ейлера. Клас Ейлера є незалежним від вибору зв'язності у цьому означенні.

Згідно із узагальненою теоремою Гауса — Бонне подібне диференціальне означення є еквівалентним попередньому топологічному, якщо розглядати компактні диференційовні многовиди і перейти до дійсних коефіцієнтів.

Клас Ейлера для SL(n,R)-головних розшарувань

При ізоморфізмах

$I^k(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,ℝ))$

пфаффіану відповідає когомологічний клас $e({\gamma }^{2k})$ у когомології класифікуючих просторів $BSL(2k,ℝ)$, тобто клас Ейлера універсального розшарування ${\gamma }^{2k}\to BSL(2k,ℝ)$. Для кожного $SL(2k,ℝ)$-розшарування $P\to M$ можна використати класифікуюче відображення $f:M\to BSL(2k,ℝ)$ для визначення класу Ейлера

$e(P):=f^{*}(e({\gamma }^{2k}))\in H^{2k}(M)$. Він є рівним класу Ейлера асоційованого векторного розшарування.

Клас Ейлера для сферичних розшарувань

Для довільного сферичного розшарування теж можна ввести Клас Ейлера.

У випадку одиничного сферичного розшарування ріманового векторного розшарування при цьому одержується введений вище клас Ейлера для векторного розшарування.

Властивості

• Канонічний гомоморфізм $H^n(X;\mathbb{Z})\to H^n(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ відображає клас Ейлера у n-ий клас Штіфеля-Вітні $w_n\in H^n(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ ab.
• Кап добуток $e(E)\cup e(E)$ є рівний найвищому класу Понтрягіна $p_n\in H^{2n}(X;\mathbb{Z})$.
• Для замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида $M$ із дотичним розшаруванням $TM$ і фундаментальним класом $\left[M\right]$ характеристика Ейлера є рівною $⟨e(TM),\left[M\right]⟩=\chi (M)$.
• Якщо $\bar{E}$ є векторним розшаруванням рівним $E$ але із протилежною орієнтацією, то $e(\bar{E})=-e(E)$.
• Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності $2e(E)=0$. Для замкнутих, орієнтовних, диференційовних многовидів непарної розмірності характеристика Ейлера є рівною 0.
• Для суми Вітні векторних розшарувань:

  $e(E_1\oplus E_2)=e(E_1)\cup e(E_2)$ де $\cup$ позначає кап добуток.

• Для довільного перетину $s:M\to E$ для $n$-вимірного орієнтовного векторного розшарування над $m$-вимірним замкнутим орієнтовним многовидом $M$ фундаментальний клас $\left[Z\right]$ множини нулів $Z=\{x\in X:s(x)=0\}$ у $H_{m-n}(M;\mathbb{Z})$ є двоїстим за Пуанкаре до $e(E)\in H^n(M;\mathbb{Z})$. У випадку дотичного розшарування $E=TM$ звідси випливає теорема Пуанкаре — Гопфа.
• Якщо $N_Y$ є нормальним розшаруванням замкнутого орієнтовного підмноговиду $Y\subset M$ тоді $<e(N_Y),\left[Y\right]>$ числу самоперетинів $Y$.
• Послідовність Гизіна: Для $n$-вимірного орієнтовного векторного розшарування $E\to B$ (із множиною $E_0\subset E$ ненульових векторів) кап добуток і клас Ейлера задають точну послідовність
  $\dots \to H^i(B;\mathbb{Z})\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_0)\to H^{i+1}(B)\to \dots$.

Див. також

• Клас Понтрягіна
• Клас Чженя
• Пфаффіан
• Характеристика Ейлера
• Характеристичний клас

Література

• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
• Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
• Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
• Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)