Симпліційний комплекс

Симпліційний 3-комплекс.

Приклад множини симплексів, що не є симпліційним комплексом.

Симпліці́йний комплекс — спеціальний топологічний простір, утворений «склеюванням» точок, відрізків, трикутників, тетраедрів і симплексів вищих порядків. Широко використовується в алгебраїчній топології для обчислень, зокрема гомологічних груп.

Означення

Нехай $v_0,v_1,v_2,\dots ,v_k$ — вершини симплекса у векторному просторі ${ℝ}^n.$ Позначимо $[v_0,v_1,v_2,\dots ,v_k]$ — симплекс, що є опуклою комбінацією цих точок (натягнутий на точки $v_0,v_1,v_2,\dots ,v_k$). Також позначимо $(v_0,v_1,v_2,\dots ,v_k)$ — відкритий симплекс з даними вершинами, тобто множина точок барицентричні координати яких більші нуля, тобто $x={\alpha }_0\cdot v_0+{\alpha }_1\cdot v_1+{\alpha }_2\cdot v_2+\dots +{\alpha }_k\cdot v_k,$ де ${\alpha }_0+{\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_k=1$ і також ${\alpha }_i>0,i=\overline{0,k}.$

Для позначення відкритого і відповідного замкнутого симплексів також використовуються позначення (s) і [s]. Замкнутою (відкритою) гранню симплекса $[s]=[v_0,v_1,v_2,\dots ,v_k]$ називається замкнутий (відкритий) симплекс натягнутий на деяку підмножину точок $v_0,v_1,v_2,\dots ,v_k.$

Симпліційним комплексом називається скінченна множина K відкритих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо $(s)\in K,$ то всі відкриті грані замкнутого симплекса [s] теж належать K.
2. Якщо $(s_1),(s_2)\in K,$ і також $(s_1)\cap (s_2)\ne \varnothing ,$ то $(s_1)=(s_2).$

Еквівалентно можна визначити симпліційний комплекс, як скінченну множину K⁺ замкнутих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо $[s]\in K^{+},$ то всі замкнуті грані [s] теж належать K⁺.
2. Якщо $[s_1],[s_2]\in K^{+},$ то $[s_1]\cap [s_2]$ є гранню обох симплексів $[s_1],[s_2].$

Множина точок, що належать симплексам із множини K позначається [K] або |K|. Такі множини називаються поліедрами.

Підкомплексом симпліційного комплексу K називається симпліційний комплекс L, такий що з $(s)\in L$ випливає $(s)\in K.$

Розмірністю симпліційного комплексу називається найбільша з розмірностей симплексів, що входять до цього комплексу.

Підрозбиття симліційного комплексу

Нехай K — симпліційний комплекс. Підрозбиттям цього симпліційного комплексу називається комплекс K', що задовольняє умови:

1. $|K|=|K^{\text{'}}|,$ тобто множини точок обох поліедрів рівні.
2. Якщо $(s)\in K^{\text{'}},$ то $(s)\subset (t),(t)\in K.$

Барицентричне підрозбиття

Нехай $(v_0,v_1,\dots ,v_n)\in K$ — деякий відкритий симплекс, що належить комплексу K. Барицентричним підрозбиттям цього симплекса називається симпліційний комплекс симплекси якого мають вигляд $(b(p_0),b(p_0,p_1),\dots ,b(p_0,\dots ,p_k)),$ де $b(p_0,\dots ,p_k),k⩽n$ — барицентр симплекса утвореного точками $p_0,p_1,\dots ,p_k,$ а $p_0,p_1,\dots ,p_n$ — усі можливі перестановки точок $v_0,v_1,\dots ,v_n.$ Розбивши таким чином усі симплекси комплексу K одержуємо барицентричне підрозбиття усього комплексу K. Дане підрозбиття позначається K⁽¹⁾. Індуктивно можна визначити підрозбиття K⁽ⁿ⁾ для будь-якого цілого числа n.

Значення барицентричного підрозбиття полягає в тому, що воно в деякому сенсі, стає щоразу «дрібнішим». А саме якщо позначити:

$\mathrm{mesh}K=\underset{(s)\in K}{\max }\mathrm{diam}[s]$

де:

$\mathrm{diam}T=\underset{t_1,t_2\in T}{\sup }\rho (t_1,t_1),$

де метрика в даному випадку породжена евклідовою нормою, то виконується властивість:

$\mathrm{mesh}{K}^{(1)}⩽\frac{m}{m+1}\mathrm{mesh}K,$ де m — розмірність комплексу K.

Зокрема:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{mesh}{K}^{(n)}=0$

Барицентричне підрозбиття пари симпліційних просторів

Якщо K є симпліційним комплексом і L — його підкомплексом, то існує узагальнення барицентричного підрозбиття яке, умовно кажучи, розбиває лише ті симплекси, які не належать L. А саме кожен відкритий симплекс у K можна записати (після, можливо, перенумерації вершин) як $(v_0,v_1,\dots ,v_n)$ де $(v_0,v_1,\dots ,v_s)$ є симплексом, що належить L, і жодна грань вищої розмірності, що містить $(v_0,v_1,\dots ,v_s)$, не належить L. Як крайні випадки жодна вершина $(v_0,v_1,\dots ,v_n)$ може не належати L або весь цей симплекс може належати L.

Для вказаного вище запису усі симплекси із вершинами $(v_0,\dots ,v_s,b(v_0,\dots ,p_{s+1}),\dots ,b(v_0,\dots ,p_n)),$ де $b(v_0,\dots ,v_s,\dots p_k),s⩽k⩽n$ — барицентр симплекса утвореного точками $v_0,\dots ,v_s,\dots p_k$ а $p_{s+1},p_{s+2},\dots ,p_n$ — усі можливі перестановки точок $v_{s+1},v_{s+2},\dots ,v_n$ є симплексами комплексу (K, L)' .

Загалом усі симплекси (K, L)' одержуються поділом усіх симплексів через записи їх у виді $(v_0,v_1,\dots ,v_n)$ де перші кілька вершин є вершинами максимальної грані симплекса, що належить L (один симплекс може мати кілька граней, що є для нього максимальними серед тих, що належать L).

Симпліційні відображення

Нехай K і L — два комплекси і v — відображення вершин комплексу K у вершини комплексу L. Це відображення v називається допустимим, якщо з того, що $a_0,a_1,\dots ,a_n$ — вершини деякого симплекса комплексу K, випливає, що $v(a_0),v(a_1),\dots ,v(a_n)$ є вершинами деякого симплекса комплексу L; серед вершин $v(a_0),v(a_1),\dots ,v(a_n),$ деякі можуть повторюватися. Кожне таке відображення визначає деяке відображення $\tilde{v}$, лінійне на кожному симплексі з K, тобто якщо $(s)=(v_0,v_1,v_2,\dots ,v_k)$ і:

$p=\sum _{i=0}^k{a}_i{v}_i\in (s)$

тоді

$\tilde{v}(p)=\sum _{i=0}^k{a}_i\tilde{v}(v_i).$

Відображення $\tilde{v}$ є неперервним. Його називають симпліційним відображенням поліедра |К| в |L|, оскільки воно узгоджується з розбиттям поліедрів |К| і |L| на симплекси і афінною структурою цих симплексів.

Симпліційне наближення

Нехай K — симпліційний комплекс і v — деяка його вершина. Тоді зіркою у вершині v називається множина:

$\mathrm{St}(v)={\cup }_{v\in [s],(s)\in K}(s).$

Нехай K, L — симпліційні комплекси, $f:|K|\to |L|$ — неперервне відображення між відповідними поліедрами. Тоді симпліційне відображення $\varphi :K\to L$ називається сипліційним наближенням f, якщо $f(\mathrm{St}(v))\subset \mathrm{St}(\varphi (v)),\mathrm{\forall }v\in K.$

Властивості

• $\mathrm{St}(v)$ є відкритою множиною у |K| і v є єдиною вершиною комплексу K, що належить $\mathrm{St}(v).$
• Нехай $\varphi :K\to L$ є симпліційним наближенням $f:|K|\to |L|$ і $p\in |K|.$ Тоді $f(p)$ і $\varphi (p)$ належать одному замкнутому симплексу в L.
• Нехай $f:K\to L$ — симпліційне відображення і $\varphi$ його симпліційне наближення. Тоді $\varphi =f.$

Теорема про симпліційне наближення

Нехай $f:|K|\to |L|$ — неперервне відображення. Тоді для довільного $\epsilon >0$ існують підрозбиття K_n для K і L_m для L, що існує симпліційне наближення $\varphi :K_n\to L_m$ відображення f, для якого:

$d(f,\varphi )<\epsilon$

де

$d(f,\varphi )=\underset{p\in |K|}{\sup }\rho (f(p),\varphi (p)).$

Пов'язані визначення

• n-вимірним кістяком комплексу називають підкомплекс, утворений усіма його симплексами розмірності не більше n.

• Розмірність симпліційного комплексу визначають як найбільшу розмірність його симплексів.

Нехай K — симпліційний комплекс, і S — деякий набір симплексів у K.

• Замикання $S$ (позначають $\text{Cl}S$) — найменший підкомплекс у $K$, який містить кожен симплекс із $S$. Замикання $\overline{S}$ можна отримати додаванням до $S$ усіх граней усех симплексів із $S$.

• 
  Два симплекси та їх замикання.

• Зірка від $S$ (позначають $\text{St}S$) — об'єднання зірок усіх симплексів у $S$. Для одного симплекса $S$ зірка $S$ — це набір симплексів, які мають $S$ своєю гранню. (Зірка $S$, як правило, не є симпліційним комплексом).

• 
  Вершина та її зірка
• 
  Вершина та її лінк

• Лінк $S$ (позначають $\text{Lk}S$) можна визначити як
  $\text{Lk}S=\text{Cl}(\text{St}S)\mathrm{\setminus }\text{St}(\text{Cl}S).$
  Це — підкомплекс, утворений усіма симплексами, що входять у симплекси вищої розмірності разом зі симплексом із $S,$ але які не мають граней із $S$.

Див. також

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Барицентричні координати
• Симплекс
• Симпліційна гомологія
• Теорема Крускала — Катони
• Симпліційний многогранник
• Симпліційна сфера

Література

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1986,
• П. Хилтон, С. Уайли Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. – М.: Мир, 1966. – 452 с.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

Посилання

• Шаблон:MathWorld