Пфаффіан

Пфаффіаном кососиметричної матриці називається деякий многочлен від її елементів, квадрат якого дорівнює визначнику цієї матриці. Як і визначник, пфаффіан є ненульовим тільки для кососиметричних матриць порядку $2n\times 2n$, і в цьому випадку його степінь дорівнює n.

Термін «пфаффіан» був введений Артуром Келі та названий на честь німецького математика Йоганна Фрідріха Пфаффа.

Приклади

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right]=a.$

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right]=af-be+dc.$

$\text{Pf}\left[\begin{array}{ccccccc}0& {\lambda }_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ -{\lambda }_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -{\lambda }_n& 0\end{array}\right]={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n.$

Означення

Нехай $A=\{a_{ij}\}$ є кососиметричною матрицею порядку $2n\times 2n$. Пфаффіаном матриці A називається многочлен від її елементів заданий як:

$\mathrm{pf}(A)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}$

де S_2n позначає симетричну групу порядок якої є рівним (2n)!, а sgn(σ) є знаком перестановки σ.

Еквівалентно, якщо $\mathrm{\Pi }$ позначає множину всіх розбиттів множини $\{1,2,\dots ,2n\}$ на невпорядковані пари (всього існує $(2n-1)!!$ таких розбиттів), то кожне $\alpha \in \mathrm{\Pi }$ може бути записано як

$\alpha =\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots ,(i_n,j_n)\},$

де $i_k<j_k$ і $i_1<i_2<\cdots <i_n$. Нехай

$\pi =\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& \cdots & 2n\\ i_1& j_1& i_2& j_2& \cdots & j_n\end{array}\right]$

позначає відповідну перестановку, а $\text{sgn}(\alpha )$ — знак перестановки $\pi$.

Для розбиття $\alpha$ визначимо

$A_{\alpha }=\mathrm{sgn}(\alpha )a_{i_1,j_1}{a}_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Пфаффіан матриці A є рівним:

$\mathrm{Pf}(A)=\sum _{\alpha \in \mathrm{\Pi }}{A}_{\alpha }.$

Пфаффіан кососиметричної матриці розміру $n\times n$ для непарного n за означенням дорівнює нулю.

Рекурсивне означення

Пфаффіан матриці розміру $0\times 0$ вважається рівним 1; пфаффіан кососиметричної матриці A розміру $2n\times 2n$ при $n>0$ може бути означений рекурсивно:

$\mathrm{Pf}(A)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i}}^{2n}(-1{)}^{i+j+1+\theta (i-j)}{a}_{ij}\mathrm{Pf}(A_{\hat{ı}\hat{ȷ}}),$

де індекс $i$ може бути обраний довільно, $\theta (ij)$ — функція Гевісайда, а $A_{\hat{ı}\hat{ȷ}}$ позначає матрицю A без i-тих і j-тих рядків і стовпців.

Альтернативне означення

Для $2n\times 2n$ кососиметричної матриці $A=\{a_{ij}\}$ розглянемо бівектор:

$\omega =\sum _{i<j}{a}_{ij}{e}_i\wedge e_j.$

де $\{e_1,e_2,\dots ,e_{2n}\}$ є стандартний базис в ${ℝ}^{2n}$. Тоді пфаффіан визначається таким рівнянням:

$\frac{1}{n!}{\omega }^{\wedge n}=\text{Pf}(A)e_1\wedge e_2\wedge \dots \wedge e_{2n},$

де ${\omega }^{\wedge n}$ позначає зовнішній добуток n копій $\omega$.

Властивості

Для $2n\times 2n$ кососиметричної матриці $A$ і для довільної $2n\times 2n$ матриці $B$:

• $\text{Pf}(A{)}^2=\det (A)$

• $\text{Pf}(BA{B}^T)=\det (B)\text{Pf}(A)$

Позначимо $\overline{A}=BA{B}^T.$ За означенням добутку матриць ${\overline{a}}_{ij}=(BA{B}^T{)}_{ij}=\sum _{k,l=1}^{2n}{b}_{ik}{b}_{jl}{a}_{kl}.$ Тому

$\mathrm{pf}(BA{B}^T)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{\overline{a}}_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n\left(\sum _{k,l=1}^{2n}{b}_{\sigma (2i-1),k}{b}_{\sigma (2i),l}{a}_{kl}\right)$

Нехай тепер $\phi$ позначає довільне відображення із множини $\{1,2,\dots ,2n\}$ у себе (не обов'язково перестановку). Розписавши попередній вираз одержуємо, що

$\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n\left(\sum _{k,l=1}^{2n}{b}_{\sigma (2i-1),k}{b}_{\sigma (2i),l}{a}_{kl}\right)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\phi }\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{b}_{\sigma (2i-1),\phi (2i-1)}{b}_{\sigma (2i),\phi (2i)}{a}_{\phi (2i-1),\phi (2i)}.$

Але для кожного конкретного відображення $\phi$ вираз $\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{b}_{\sigma (2i-1),\phi (2i-1)}{b}_{\sigma (2i),\phi (2i)}$ є рівним $\det B_{\phi },$ де $B_{\phi }$ є матрицею розмірності $2n\times 2n$ для якої i-ий стовпець є $\phi (i)$-стовпцем матриці $B.$ Тому якщо $\phi$ не є перестановкою, деякі стовпці є однаковими і відповідний визначник є рівним нулю. В іншому випадку $\det B_{\phi }=\mathrm{sgn}(\phi )\det B.$ Таким чином:

$\text{Pf}(BA{B}^T)=\det (B)\cdot \frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\phi \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\phi )\prod _{i=1}^n{a}_{\phi (2i-1),\phi (2i)}=\det (B)\text{Pf}(A).$

• $\text{Pf}(\lambda A)={\lambda }^n\text{Pf}(A)$

• $\text{Pf}(A^T)=(-1{)}^n\text{Pf}(A)$

• Для блок-діагональної матриці

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right]=\text{Pf}(A_1)\text{Pf}(A_2).$

• Для довільної $n\times n$ матриці $M$:

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cc}0& M\\ -M^T& 0\end{array}\right]=(-1{)}^{n(n-1)/2}\det M.$

Див. також

• Визначник
• Кососиметрична матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз
• Шаблон:Cite book