Характеристика Ейлера

Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору $X$ зазвичай позначається $\chi (X)$.

Визначення

• Для скінченного кліткового комплексу (зокрема, для скінченного симпліційного комплексу) ейлерова характеристика може бути визначена як знакозмінна сума

  $\chi =k_0-k_1+k_2-...,$

где $k_i$ означає число клітинок розмірности $i$.

• Ейлерова характеристика довільного топологічного простору може бути визначена через числа Бетті $b_n$ як знакозмінна сума:

  $\chi =b_0-b_1+b_2-b_3+...$

Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні й збігаються до нуля для достатньо великих індексів.

• Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

Властивості

• Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто, зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
  • Зокрема, ейлерова характеристика є топологічним інваріантом.

Ейлерова характеристика поліедрів

• Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою: $\chi =\mathrm{\Gamma }-\text{P}+\text{B}$ де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь-якого многогранника справедлива формула Ейлера:

  $\mathrm{\Gamma }-\text{P}+\text{B}=\chi (S^2)=2.$

Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Теорема Ґауса—Бонне

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду $S$ (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику $\chi (S)$ з кривиною Ґауса $K$ многовиду:

$\underset{S}{\int }Kd\sigma =2\pi \chi (S),$

де $d\sigma$ — елемент площі поверхні $S$.

• Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
• Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або Узагальнена формула Ґауса—Бонне.
• Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на $2\pi$.
• Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані й неорієнтовані поверхні

• Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою: $\chi (X)=2-2g$, де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як $\chi (X)=2-g$.

Величина характеристики Ейлера

Назва	Вид	Ейлерова характеристика
Відрізок		1
Коло		0
Круг		1
Сфера		2
Тор (добуток двох кіл)		0
Подвійний тор		−2
Потрійний тор		−4
Проективна поверхня		1
Стрічка Мебіуса		0
Пляшка Кляйна		0
Дві сфери (незв'язані)		2 + 2 = 4
Три сфери		2 + 2 + 2 = 6

Історія

У 1752 році Ейлер опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

$S+H=A+2,$

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році .

У 1899 році Анрі Пуанкаре узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

$\sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^i{A}_i=1+{(-1)}^{N-1},$

де $A_i$ — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

$\sum _{i=0}^N{(-1)}^i{A}_i=1.$

Література

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).