Експонента (функція)

Графік експоненти $y=e^x$ (синім).
Дотична (червоним) в нулі у функції $e^x$ нахилена на $\frac{\pi }{4}(45^{\circ })$.
Поруч для прикладу показано $y=2^x$ (точками) і $y=4^x$ (пунктиром)

Експонента — показникова функція $f(x)=\exp (x)=e^x$, де $e$ — число Ейлера $(e\approx 2,718)$.

Визначення

Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора:

$e^x=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

або через границю:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

Тут $x$ — будь-яке комплексне число.

Властивості

• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, а зокрема, експонента — єдине рішення диференціального рівняння $y^{\prime }=y$ з початковими даними $y(0)=1$. Крім того, через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь.
• Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля.
• Експонента — опукла функція.
• Обернена функція до неї — натуральний логарифм $(\ln x)$.
• Фур'є-образ експоненти не існує.
• Однак перетворення Лапласа існує.
• Похідна в нулі дорівнює $1$, тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом $45^{\circ }\left(\frac{\pi }{4}\right)$.
• Основна функціональна властивість експоненти, як і всякої показникової функції:

  $\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)$.

  • Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює $0$, або має вигляд $\exp (cx)$, де $c$ — деяка константа.

• $e^x=\mathrm{sh}x+\mathrm{ch}x$, де $\mathrm{sh}$ і $\mathrm{ch}$ — гіперболічні синус і косинус.

Комплексна експонента

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що задається співвідношенням $f(z)=e^z$, де $z$ є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти $f(x)=e^x$ речовинного змінного $x$:

Визначимо формальний вираз

$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$.

Визначений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції $e^z$, тобто показати, що $e^z$ розкладається в деякий збіжний ряд, що збігається до даної функції . Покажемо це:

$f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Збіжність цього ряду легко доводиться:

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \left|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{x^n}{n!}\right|=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|x{|}^n}{n!}=e^{|x|}$.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі усюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції $f(z)=e^z$. Згідно теореми єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція $e^z$ всюди визначена і аналітична.

Властивості

• Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. В жодній точці вона не звертається в нуль.
• $e^z$ — періодична функція з основним періодом 2πi: $e^{i\phi }=e^{i(\phi +2\pi )}$. У силу періодичності комплексна експонента безкінечнолистна. В якості її області однолистності можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою $2\pi$.
• $e^z$ — єдина з точністю до постійного множника функція, похідна (а відповідно, і первісна) якої збігається з вихідною функцією.
• Алгебраїчно експонента від комплексного аргументу $z=x+iy$ може бути визначена наступним чином:

  $e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$ (формула Ейлера)

  • Зокрема, має місце (тотожність Ейлера),

    $e^{i\pi }+1=0$

Варіації та узагальнення

Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри. У конкретному випадку потрібен також доказ того, що зазначені межі існують.

Матрична експонента

Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю у відповідний ряд:

$\exp A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^k}{k!}.$

Визначений таким чином ряд збігається для будь-якого оператора $A$ з обмеженою нормою, оскільки мажорується поруч для експоненти норми $A:$ $\exp \Vert A\Vert .$ Отже, експонента матриці $A\in {ℝ}^{n\times n}$ завжди визначена і сама є матрицею.

За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами: рівняння $\dot{x}=Ax,x\in {ℝ}^n$ з початковою умовою $x(0)=x_0$ має своїм рішенням $x(t)=\exp (At)x_0.$

h-експонента

Введення $h$-експоненти засноване на другій чудовій границі:

$e_h(x)=(1+h{)}^{\frac{x}{h}}.$

При $h\to 0$ виходить звичайна експонента.

Обернена функція

Обернена функція до експоненційної функції — натуральний логарифм. Позначається $\ln x$:

$\ln x={\log }_{e}x.$

Див. також

• Експоненційне зростання
• Показникова функція
• Список інтегралів від експоненціальних функцій

Література

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Посилання

• «Експонента і число е: просто і зрозуміло Шаблон:Webarchive» — переклад статті An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained Шаблон:WebarchiveШаблон:Ref-en