SL(2,R)

У математиці, спеціальна лінійна група $\mathrm{SL}(2,ℝ)$ або ${\mathrm{SL}}_2(ℝ)$ — це група дійсних $:2\times 2$ матриць, з детермінантом $1$:

$\mathrm{SL}(2,ℝ)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):a,b,c,d\in ℝ\text{і}ad-bc=1\}.$

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

$\mathrm{SL}(2,ℝ)$ діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ ($2\times 2$ спеціальна проєктивна група над $ℝ$). Більш конкретно,

$\mathrm{PSL}(2,ℝ)=\mathrm{SL}(2,ℝ)/\{\pm I\}$,

де $I$ — $2\times 2$ одинична матриця. Вона містить модулярну групу $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$.

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна Шаблон:Iw $\mathrm{Mp}(2,ℝ)$, або Шаблон:Iw (вважаючи $\mathrm{SL}(2,ℝ)$ симплектичною групою).

Інша пов'язана група це ${\mathrm{SL}}^{\pm }(2,ℝ)$, група дійсних $2\times 2$ матриць з детермінантом $\pm 1$; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

Опис

$\mathrm{SL}(2,ℝ)$ це група всіх лінійних перетворень у ${ℝ}^{\mathrm{𝟚}}$, яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна  симплектичній групі $\mathrm{Sp}(2,ℝ)$і спеціальній унітарній групі $\mathrm{SU}(1,1)$.Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група ${\mathrm{SL}}^{\pm }(2,ℝ)$ не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ допускає декілька цікавих означень:

• Це група проєктивних перетворень на Шаблон:Iw $ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$, що зберігає орієнтацію.
• Це група конформних автоморфізмів одиничного круга.
• Це група ізометрій гіперболічної площини, що зберігає орієнтацію.
• Це обмежена група Лоренца тривимірного простору Мінковского. Еквівалентно, це група, яка ізоморфна невизначеній ортогональній групі ${\mathrm{SO}}^{+}(1,2)$. З цього випливає, що $\mathrm{SL}(2,ℝ)$ ізоморфна спінорній групі $\mathrm{Spin}(2,1{)}^{+}$.

Елементи модулярної групи $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи $\mathrm{SL}(2,ℝ)$.

Проєктивні перетворення

Елементи $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ є проєктивними перетвореннями на Шаблон:Iw $ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$:

$[x,1]⟼[x,1]\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=[ax+b,cx+d]=[\frac{ax+b}{cx+d},1].$

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи $\mathrm{PSL}(2,ℂ)$, яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ описує Шаблон:Iw.

Перетворення Мебіуса

Елементи групи $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

$z⟼\frac{az+b}{cz+d}(\text{де}a,b,c,d\in ℝ)$.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки з гіперболічна геометрією.

Приєднане представлення

Група $\mathrm{SL}(2,ℝ)$ діє на свою алгебру Лі $𝔰𝔩(2,ℝ)$ шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є $2\times 2$ матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$. Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у ${ℝ}^{\mathrm{𝟚}}$. Як результат матимемо наступне представлення:

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]⟼\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& 2ab& b^2\\ ac& ad+bc& bd\\ c^2& 2cd& d^2\end{array}\right]$.

Форма Кіллінга алгебри $𝔰𝔩(2,ℝ)$ має сигнатуру $(2,1)$ і встановлює ізоморфізм між групою $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ і групою Лоренца ${\mathrm{SO}}^{+}(2,1)$. Така дія групи $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Класифікація елементів

Власні значення елемента $A\in \mathrm{SL}(2,ℝ)$ задовольняють характеристичний многочлен

${\lambda }^2-\mathrm{tr}(A)\lambda +1=0$,

звідси

$\lambda =\frac{\mathrm{tr}(A)\pm \sqrt{\mathrm{tr}(A{)}^2-4}}{2}$.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

• Якщо $|\mathrm{tr}(A)|<2$, то $A$ називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
• Якщо $|\mathrm{tr}(A)|=2$, то $A$ називається параболічним і є відображенням зсуву.
• Якщо $|\mathrm{tr}(A)|>2$, то $A$ називається гіперболічним і є Шаблон:Iw.

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду ($ϵ=\frac{1}{2}\mathrm{tr}$; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти $\pm 1$, як і при роботі з групою $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$), тоді це приводить до наступних випадків: $ϵ<1$, еліптичний; $ϵ=1$, параболічний; $ϵ>1$, гіперболічний.

Одиничний елемент $1$ і від'ємний одиничний елемент $-1$ (у випадку групи $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ вони співпадають) мають слід $\pm 2$, і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп $\mathrm{SL}(2,ℂ)$ і $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$(дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; аналогічні класифікації використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, Шаблон:Iw, гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т. ін.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на $\pm 1$), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи $\pm 1$) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи $\pm 1$), у той час як параболічні елементи (включаючи $\pm 1$) є замкнутими множинами.

Еліптичні елементи

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$ діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення $\{\omega ,{\omega }^{-}\}$, де $\omega$ це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями $\pm i$ і є спряженими до поворотів на $90^{\circ }$, а також є квадратами до $-I$: вони є нетотожними інволюціями у групі $\mathrm{PSL(2)}$.

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу $\mathrm{SO(2)}$; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі $\mathrm{GL(2)}$, але не у групі $\mathrm{SL(2)}$.)

Див. також

• Лінійна група
• Спеціальна лінійна група
• Проєктивна лінійна група
• Модулярна група
• $\mathrm{SL}(2,ℂ)$ (Перетворення Мебіуса)
• Проєктивне перетворення
• Група Фукса
• Шаблон:Нп
• Дифеоморфізм Аносова

Література

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга