Дифеоморфізм Аносова

У теорії динамічних систем, галузі математики, дифеоморфізми Аносова — введений Шаблон:Нп клас відображень з хаотичною динамікою, динаміка яких стійка відносно малих збурень.

Визначення

Дифеоморфізм $f:M\to M$ — дифеоморфізм Аносова, якщо він гіперболічний на всьому многовиді M. А саме, існує розклад дотичного розшаровання TM у пряму суму двох неперервних підрозшаровань, E^u і E^s, інваріантний відносно динаміки, причому на E^u динаміка експоненційно розтягує, а на E^s — експоненційно стискає:

$\Vert f^n(v)\Vert \le c_1{\lambda }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^s,$

$\Vert f^n(v)\Vert \ge c_2{\mu }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^u,$

де $c_1,c_2>0$ і $\mu >1>\lambda >0$ — сталі.

Властивість

• Дифеоморфізми Аносова структурно стійкі: для будь-якого аносівського дифеоморфізму f існує такий його окіл у просторі дифеоморфізмів класу C¹, будь-який дифеоморфізм g з якого спряжений з f деяким гомеоморфізмом h:

$f\circ h=h\circ g.$

Іншими словами, Динаміка малого збурення f відрізняється від самого f тільки заміною координат (правда, лише неперервною!).

• Частину визначення, що стосується розтягування, можна переписати як стиснення в зворотному часі:

$\Vert f^{-n}(v)\Vert \le c_3{\mu }^{-n}\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^u.$

Приклад

Найвідомішим прикладом дифеоморфізму Аносова є дія відображення $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ на двовимірному торі ${𝕋}^2={ℝ}^2/{\mathbb{Z}}^2$.

Загальніше, якщо матриця $A\in S{L}_n(\mathbb{Z})$ не має власних значень, рівних за модулем одиниці, то спуск дії $A$ на тор ${𝕋}^n={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$ (коректно визначений, оскільки $A$ зберігає ${\mathbb{Z}}^n$) буде дифеоморфізмом Аносова.

Див. також

• Атрактор Пликіна

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:КнигаШаблон:Бібліоінформація