Невизначена ортогональна група

Невизначена ортогональна група $\mathrm{O}(p,q)$ — це група Лі всіх лінійних перетворень n-вимірного дійсного векторного простору, які залишають інваріантною невироджену симетричну білінійну форму з сигнатурою $(p,q)$, де $n=p+q$. Розмірність групи дорівнює $n(n-1)/2$.

Невизначена спеціальна ортогональна група $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$ є підгрупою групи $\mathrm{O}(p,q)$, що складається з усіх елементів з визначником 1. На відміну від особливого випадку $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$ група не зв'язна — вона має дві компоненти і є дві додаткові підгрупи зі скінченним індексом, а саме, зв'язна ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$ і ${\mathrm{O}}^{+}(p,q)$, яка має дві компоненти.

Сигнатура форми визначає групу з точністю до ізоморфізму. Перестановка p з q призводить до заміни метрики на її заперечення, що дає ту ж саму групу. Якщо p або q дорівнює нулю, група ізоморфна звичайній ортогональній групі O(n). Далі ми припускаємо, що і p, і q додатні.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — див. опис невизначеної ортогональної групи на с. 372
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга