Гіперболоїдна модель

Червона дуга кола є геодезичною в дисковій моделі Пуанкаре. Вона проєктується на коричневу геодезичну на зеленому гіперболоїді.

Гіперболо́їдна моде́ль, відома також як моде́ль Мінко́вського або ло́ренцева моде́ль модель n-вимірної гіперболічної геометрії, в якій кожну точку представлено точкою на верхній поверхні $S^{+}$ двопорожнинного гіперболоїда в (n+1)-вимірному просторі Мінковського а m-площини представлено перетином (m+1)-площин у просторі Мінковського з S⁺. Функція гіперболічної відстані в цій моделі задовольняє простому виразу. Гіперболоїдна модель n-вимірного гіперболічного простору тісно пов'язана з моделлю Бельтрамі — Кляйна і дисковою моделлю Пуанкаре, оскільки вони є проєктивними моделями в сенсі, що Шаблон:Не перекладено є підгрупою проєктивної групи.

Квадратична форма Мінковського

Якщо $(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ є векторами в Шаблон:Nobr-вимірному координатному просторі ${ℝ}^{n+1}$, квадратична форма Мінковського визначається як

$Q(x_0,x_1,\dots ,x_n)=x_0^2-x_1^2-\dots -x_n^2.$

Вектори $v\in {ℝ}^{n+1}$, такі, що $Q(v)=1$, утворюють n-вимірний гіперболоїд S, що складається з двох зв'язаних компонент, або листків — верхній, або майбутнє, лист $S^{+}$, де $x_0>0$ і нижній, або минуле, лист $S^{-}$, де $x_0<0$. Точки n-вимірної гіперболоїдної моделі є точками на листку майбутнього $S^{+}$.

Білінійна форма Мінковського B є поляризацією квадратичної форми Мінковського Q,

$B(𝐮,𝐯)=(Q(𝐮+𝐯)-Q(𝐮)-Q(𝐯))/2.$

Або в явному вигляді,

$B((x_0,x_1,\dots ,x_n),(y_0,y_1,\dots ,y_n))=x_0{y}_0-x_1{y}_1-\dots -x_n{y}_n.$

Гіперболічна відстань між двома точками u і v простору $S^{+}$ задають формулою $d(𝐮,𝐯)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(B(𝐮,𝐯))$,

де arch — обернена функція гіперболічного косинуса.

Прямі

Пряма в гіперболічному n-просторі моделюється геодезичною на гіперболоїді. Геодезична на гіперболоїді є (непорожнім) перетином з двовимірним лінійним підпростором (включно з початком координат) n+1-вимірного простору Мінковського. Якщо ми візьмемо як u і v базисні вектори лінійного підпростору з

$B(𝐮,𝐮)=1$

$B(𝐯,𝐯)=-1$

$B(𝐮,𝐯)=B(𝐯,𝐮)=0$

і використаємо w як параметр для точок на геодезичній, то

$𝐮\mathrm{c}\mathrm{h}w+𝐯\mathrm{s}\mathrm{h}w$

буде точкою на геодезичнійШаблон:Sfn.

Загальніше, k-вимірна «площина» в гіперболічному n-просторі моделюватиметься (непорожнім) перетином гіперболоїда з k+1-вимірним лінійним підпростором (включно з початком координат) простору Мінковського.

Рухи

Невизначена ортогональна група O(1,n), звана також (n+1)-вимірною групою Лоренца, є групою Лі дійсних (n+1)×(n+1) матриць, яка зберігає білінійну форму Мінковського. Іншими словами, це група лінійних рухів простору Мінковського. Зокрема, ця група зберігає гіперболоїд S. Нагадаємо, що невизначені ортогональні групи мають чотири зв'язані компоненти, які відповідають оберненню або збереженню орієнтації на кожному підпросторі (тут — 1-вимірному і n-вимірному), і утворюють 4-групу Кляйна. Підгрупа O(1,n), яка зберігає знак першої координати, є ортохронною групою Лоренца, що позначається O⁺(1,n), і має дві компоненти, які відповідають збереженню або оберненню орієнтації підпростору. Її підгрупа SO⁺(1,n), що складається з матриць з визначником одиниця, є зв'язаною групою Лі розмірності n(n+1)/2, яка діє на S⁺ лінійними автоморфізмами й зберігає гіперболічну відстань. Ця дія транзитивна і є стабілізатором вектора (1,0,…, 0), що складається з матриць вигляду

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& & & \\ ⋮& & A& \\ 0& & & \end{array}\right)$

де $A$ належить до компактної спеціальної ортогональної групи SO(n) (яка узагальнює групу обертань SO(3) для Шаблон:Nobr). Звідси випливає, що n-вимірний гіперболічний простір можна подати як однорідний простір і Ріманів симетричний простір рангу 1,

${ℍ}^n={\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(1,n)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n).$

Група SO⁺(1,n) є повною групою рухів n-вимірного гіперболічного простору, що зберігають орієнтацію.

Історія

• У кількох статтях між 1878 і 1885 Вільгельм КіллінгШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn використав подання гіперболічної геометрі, яке він приписує Карлу Веєрштрассу. Зокрема, він обговорює квадратичні форми, такі як $k^2{t}^2+u^2+v^2+w^2=k^2$ або для довільних розмірностей $k^2{x}_0^2+x_1^2+\dots +x_n^2=k^2$, де $k$ є двоїстою мірою кривини, $k^2=\mathrm{\infty }$ означає Евклідову геометрію, $k^2>0$ еліптичну геометрію, а $k^2<0$ означає гіперболічну геометрію.

• За Джеремі Ґреєм (1986)Шаблон:Sfn Пуанкаре використав гіперболоїдну модель у його персональних нотатках 1880 року. Пуанкаре опублікував свої результати в 1881, у яких він обговорює інваріантність квадратичної форми ${\xi }^2+{\eta }^2-{\zeta }^2=-1$Шаблон:Sfn. Ґрей показує, де гіперболоїдна модель явно згадується в пізніших роботах ПуанкареШаблон:Sfn. Докладніше див. Шаблон:Не перекладено.

• Також Гомершем Кокс у 1882Шаблон:SfnШаблон:Sfn використав координати Веєрштрасса (без зазначення цього імені), що задовольняють співвідношенню $z^2-x^2-y^2=1$, а також співвідношенню $w^2-x^2-y^2-z^2=1$.

• Далі модель використали Альфред Клебш і Фердинанд фон Ліндеман 1891 року при обговоренні співвідношень $x_1^2+x_2^2-4k^2{x}_3^2=-4k^2$ і $x_1^2+x_2^2+x_3^2-4k^2{x}_4^2=-4k^2$Шаблон:Sfn.

• Координати Веєрштрасса використовували також Шаблон:Не перекладено.

Пізніше (1885) Кілінг стверджував, що фраза координати Веєрштрасса співвідноситься з елементами гіперболоїдної моделі так: якщо задано скалярний добуток $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ на ${ℝ}^n$, координати Веєрштрасса точки $x\in {ℝ}^n$ дорівнюють

$(x,\sqrt{1+⟨x,x⟩})\in {ℝ}^{n+1},$

що можна порівняти з виразом

$(x,\sqrt{1-⟨x,x⟩})\in {ℝ}^{n+1}$

для моделі півсфериШаблон:Sfn.

Як метричний простір гіперболоїд розглядав Шаблон:Не перекладено у книзі Papers in Space Analysis (1894). Він зауважив, що точки на гіперболоїді можна записати як

$\mathrm{s}\mathrm{h}A+\alpha \mathrm{s}\mathrm{h}A,$

де α є базисним вектором, ортогональним до осі гіперболоїда. Наприклад, він отримав Шаблон:Не перекладено, використавши алгебри фізикиШаблон:Sfn.

Х. Дженсен сфокусувався на гіперболоїдній моделі в статті 1909 року «Подання гіперболічної геометрії на двопорожнинному гіперболоїді»Шаблон:Sfn. 1993 року У. Ф. Рейнольдс виклав ранню історію моделі в статті, надрукованій у журналі American Mathematical MonthlyШаблон:Sfn.

Як загальновизнану модель у XX столітті, її ототожнив з Geschwindigkeitsvectoren (нім. векторами швидкості) Герман Мінковський у просторі Мінковського. Скотт Вальтер у статті 1999 року «Неевклідів стиль спеціальної теорії відносності»Шаблон:Sfn згадує обізнаність Мінковського, але виводить походження моделі від Гельмгольца, а не від Веєрштрасса чи Кіллінга.

У ранні роки Шаблон:Не перекладено використовував релятивістську гіперболоїдну модель для пояснення фізики швидкості. У його доповіді в Німецькому математичному товаристві 1912 року він посилався на координати ВеєрштрассаШаблон:Sfn.

Див. також

• Конформно-евклідова модель
• Гіперболічні кватерніони

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття