Многочлен Гільберта

Функція Гільберта, ряд Гільберта і многочлен Гільберта градуйованої комутативною алгебри і скінченнопородженого градуйованого модуля — три тісно пов'язані поняття, які дозволяють виміряти ріст розмірності однорідних компонент алгебри.

Ці поняття були поширені на фільтровані алгебри і градуйовані або фільтровані модулі над цими алгебрами, а також на когерентні пучки над проективними схемами.

Многочлен Гільберта і ряд Гільберта відіграють важливу роль в обчислювальній алгебричній геометрії, оскільки вони надають найпростіший відомий спосіб обчислення розмірності і степеня алгебричного многовиду, заданого явними поліноміальними рівняннями.

Означення та основні властивості

Адитивні функції на скінченнопороджених градуйованих модулях

Нехай $S = ⨁_{i \geq 0} S_{i}$ — градуйоване кільце Нетер. Тоді кільце кільце $S_{0}$ є нетеровим, і $S_{0}$ -алгебра S є породженою однорідними елементами $x_{1}, . . ., x_{h}$ додатних степенів $d_{1}, . . ., d_{h} .$ Нехай $M = ⨁_{i \geq 0} M_{i}$ — скінченнопороджений градуйований S-модуль. Він є породженим скінченною кількістю однорідних елементів. Також довільний модуль $M_{n}$ є скінченнопородженим $S_{0}$ -модулем.

Нехай $λ$ — деяка адитивна функція зі значеннями у множині $ℤ$ , визначена на класі всіх скінченнопороджених $S_{0}$ -модулів. Адитивність у даному випадку означає, що для довільної короткої точної послідовності:

0 \to A \to B \to C \to 0

виконується рівність $λ (A) - λ (B) + λ (C) = 0 .$

Рядом Гільберта — Пуанкаре для градуйованого модуля M і адитивної функції $λ$ називається степеневий ряд:

H S (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} λ (M_{n}) t^{n} .

Сума ряду Гільберта — Пуанкаре є раціональною функцією

H S (t) = \frac{Q (t)}{\prod_{i = 1}^{h} (1 - t^{d_{i}})},

де Шаблон:Math — многочлен з цілими коефіцієнтами.

Якщо Шаблон:Math є породженим елементами степеня 1, то сума ряду Гільберта — Пуанкаре може бути переписана як

H S_{S} (t) = \frac{P (t)}{(1 - t)^{δ}},

де Шаблон:Math — многочлен з цілими коефіцієнтами.

У цьому випадку розклад цієї раціональної функції в ряд має вигляд

H S (t) = P (t) (1 + δ t + \dots + (\binom{n + δ - 1}{δ - 1}) t^{n} + \dots)

де біноміальний коефіцієнт $(\binom{n + δ - 1}{δ - 1})$ дорівнює $\frac{(n + δ - 1) (n + δ - 2) \dots (n + 1)}{(δ - 1)!}$ при $n > - δ$ і нулю в іншому випадку.

Якщо $P (t) = \sum_{i = 0}^{d} a_{i} t^{i},$ то коефіцієнтом при $t^{n}$ в $H S (t)$ є

λ (M_{n}) = \sum_{i = 0}^{d} a_{i} (\binom{n - i + δ - 1}{δ - 1}) .

При $n \geq i - δ + 1,$ член з індексом Шаблон:Mvar в цій сумі є многочленом від Шаблон:Mvar степеня $δ - 1$ зі старшим коефіцієнтом $\sum_{i = 0}^{d} a_{i} / (δ - 1)! .$ Це показує, що існує єдиний многочлен $H P (n)$ з раціональними коефіцієнтами, що дорівнює $λ (M_{n})$ при досить великих Шаблон:Mvar. Цей многочлен називається многочленом Гільберта.

Скінченнопороджені градуйовані алгебри над кільцями Артіна

Нехай при попередніх умовах кільце $S_{0}$ є кільцем Артіна (зокрема, у важливому частковому випадку полем). Оскільки кожен модуль $M_{n}$ є скінченнопородженим $S_{0}$ -модулем, то $M_{n}$ є нетеровим і артіновим модулем. Звідси випливає, що довжина $l (M_{n})$ є скінченним цілим числом. У випадку, якщо $S_{0}$ є полем то довжина $M_{n}$ є рівною розмірності векторного простору над $S_{0}$ . Також довжина модуля є адитивною функцією.

Функція : $H F_{M} : n \mapsto l (M_{n})$ називається функцією Гільберта градуйованого модуля $M .$ Вона відповідно задає ряд Гільберта — Пуанкаре, який у цьому випадку переважно називають рядом Гільберта і многочлен Гільберта.

Ряди і многочлени Гільберта — Самюеля

Одним із найважливіших часткових випадків у комутативній алгебрі є випадок фільтрацій для локальних нетерових кілець.

Нехай R — локальне нетерове кільце із максимальним ідеалом $𝔪,$ а $𝔪^{n} \subset I \subset 𝔪$ — деякий $𝔪$ -примарний ідеал. Тоді кільце $R / I$ буде артіновим. Нехай M — скінченнопороджений R-модуль і $M_{n} = I^{n} M .$

Нехай $G (R) = ⨁_{i \geq 0} I^{n} / I^{n + 1}, G (M) = ⨁_{i \geq 0} M_{n} / M_{n + 1} .$ Тоді G(R) є градуйованою R/I-алгеброю скінченно породженою ${\bar{x}}_{1}, \dots, {\bar{x}}_{s} \in I / I^{2},$ де елементи $x_{1}, \dots, x_{s}$ породжують ідеал I. G(M) є скінченнопородженим G(R)-модулем.

Відповідно для G(M) всі довжини $l (M_{n} / M_{n + 1})$ є скінченними і можна ввести відповідну функцію Гільберта, ряд Гільберта і заданий ними многочлен Гільберта.

Із скінченності усіх $l (M_{n} / M_{n + 1})$ випливають також скінченності довжин $l (M / M_{n + 1}) .$ Визначені при цьому функція і ряд називаються функцією Гільберта — Самюеля і рядом Гільберта — Самюеля. Функція Гільберта — Самюеля теж є поліноміальною і відповідний многочлен називається многочленом Гільберта — Самюеля. Його степінь не залежить від вибору $𝔪$ -примарного ідеалу.

Градуйовані алгебри і кільця многочленів

Для кільця многочленів $R_{n} = K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ від $n$ змінних значення функції Гільберта $H F_{R_{n}} (k)$ є рівним розмірності простору однорідних многочленів степеня k. Це значення записується через біноміальні коефіцієнти:

H F_{R_{n}} (k) = (\binom{k + n - 1}{n - 1}) = \frac{(k + 1) \dots (k + n - 1)}{(n - 1)!} .

Дана функція є очевидно поліноміальною степеня n - 1 від змінної k і многочлен Гільберта записується теж як $H P_{R_{n}} (k) = (\binom{k + n - 1}{n - 1}) .$

Ряд Гільберта у даному випадку задає раціональну функцію

H S_{R_{n}} (t) = \frac{1}{(1 - t)^{n}} .

Нехай тепер $F \in R_{n}$ — однорідний многочлен степеня m і $A = K [x_{1}, \dots, x_{n}] / (F) .$ Тоді функція Гільберта є рівною

H F_{A} (k) = {\begin{matrix} (\binom{k + n - 1}{n - 1}), & k < m \\ (\binom{k + n - 1}{n - 1}) - (\binom{k + n - m - 1}{n - 1}), & k ⩾ m \end{matrix} .

Многочлен Гільберта у цьому випадку є рівним:

H P_{A} = (\binom{k + n - 1}{n - 1}) - (\binom{k + n - m - 1}{n - 1}) .

Степінь многочлена у цьому випадку є рівною n - 2, а старший коефіцієнт — $\frac{m}{(n - 2)!} .$

Кільця многочленів і їх фактори за однорідними ідеалами є типовими прикладами градуйованих алгебр. Навпаки, якщо Шаблон:Math — градуйована алгебра над полем Шаблон:Math, породжена Шаблон:Math однорідними елементами Шаблон:Math степеня 1, то відображення, яке переводить Шаблон:Math в Шаблон:Mvar, визначає гомоморфізм градуювальних кілець з $R_{n} = K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ на Шаблон:Math. Його ядро — однорідний ідеал Шаблон:Math, і це визначає ізоморфізм градуйованих алгебр між $R_{n} / I$ і Шаблон:Math.

Таким чином, градуйовані алгебри, породжені однорідними елементами степеня 1 є ізоморфними факторкільцям кілець многочленів за однорідними ідеалами.

Властивості ряду Гільберта

Фактор по елементу, який не є дільником нуля

Нехай Шаблон:Math — градуйована алгебра над полем K і Шаблон:Math — однорідний елемент Шаблон:Math степеня Шаблон:Math, який не є дільником нуля. Тоді

H S_{A / (f)} (t) = (1 - t^{d}) H S_{A} (t) .

Це випливає з адитивності для точної послідовності

0 \to A^{[d]} \overset{f}{\to} A \to A / f \to 0,

де стрілка з буквою Шаблон:Math — множення на Шаблон:Math, і $A^{[d]}$ — градуйований модуль , отриманий з Шаблон:Math зміщенням степенів на Шаблон:Math, так що множення на Шаблон:Math має степінь 0. зокрема , $H S_{A^{[d]}} (t) = t^{d} H S_{A} (t) .$

Степінь проективного многовида і теорема Безу

Ряд Гільберта дозволяє порахувати степінь алгебричного многовида як значення в 1 чисельника ряду Гільберта. В такий спосіб можна також отримати просте доведення теореми Безу.

Розглянемо проективну алгебричну множину Шаблон:Mvar розмірності більшої нуля, задану як множину нулів однорідного ідеалу $I \subset k [x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}]$ , де Шаблон:Mvar — поле, і нехай $R = k [x_{0}, \dots, x_{n}] / I$ . Якщо Шаблон:Mvar — однорідний многочлен степеня $δ$ , який не є дільником нуля в Шаблон:Mvar, точна послідовність

0 \to R^{[δ]} \overset{f}{\to} R \to R / ⟨ f ⟩ \to 0,

показує, що

H S_{R / ⟨ f ⟩} (t) = (1 - t^{δ}) H S_{R} (t) .

Розглядаючи чисельники, отримуємо доведення наступного узагальнення теореми Безу:

Якщо Шаблон:Mvar — однорідний многочлен степеня $δ$ , який не є дільником нуля в Шаблон:Mvar, то степінь перетину Шаблон:Mvar з гіперповерхнею, заданою Шаблон:Mvar, дорівнює добутку степеня Шаблон:Mvar на $δ$ .

Більш геометрично це можна переформулювати так: якщо проективна гіперповерхня степеня Шаблон:Math не містить жодної компоненти алгебричної множини степеня Шаблон:Math, то степінь їх перетину дорівнює Шаблон:Math .

Звичайна теорема Безу легко виводиться з цього твердження, якщо починати з гіперповерхні і послідовно перетинати її з Шаблон:Math іншою гіперповерхнею.

Див. також

Література

Многочлен Гільберта

Зміст

Означення та основні властивості

Адитивні функції на скінченнопороджених градуйованих модулях

Скінченнопороджені градуйовані алгебри над кільцями Артіна

Ряди і многочлени Гільберта — Самюеля

Градуйовані алгебри і кільця многочленів

Властивості ряду Гільберта

Фактор по елементу, який не є дільником нуля

Степінь проективного многовида і теорема Безу

Див. також

Література

Навігаційне меню

Многочлен Гільберта

Означення та основні властивості

Адитивні функції на скінченнопороджених градуйованих модулях

Скінченнопороджені градуйовані алгебри над кільцями Артіна

Ряди і многочлени Гільберта — Самюеля

Градуйовані алгебри і кільця многочленів

Властивості ряду Гільберта

Фактор по елементу, який не є дільником нуля

Степінь проективного многовида і теорема Безу

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук