L-функція Діріхле

L-функція Діріхле $L_{\chi }(s)$ — комплекснозначна функція, задана для $\mathrm{Re}s>0$ (для $\mathrm{Re}s>1$ у випадку головного характера) формулою

$L_{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$,

де $\chi (n)$ — деякий характер Діріхле (по модулю k). $L$-функції Діріхле були введені для доведення теореми Діріхле про прості числа в арифметичних прогресіях, де, зокрема використовується нерівність $L_{\chi }(1)\ne 0$ для усіх неголовних характерів.

Для неголовних характерів існує аналітичне продовження до цілої функції. Для головного характера за модулем k існує аналітичне продовження до мероморфної функції, що має простий полюс із лишком $\frac{\phi (k)}{k}$, де $\phi (k)$ — функція Ейлера.

Добуток Ейлера для L-функцій Діріхле

Зважаючи на мультиплікативність характера Діріхле $\chi$ для $L$-функції Діріхле в області $\mathrm{Re}s>1$ виконується розклад у добуток по простих числах]:

$L_{\chi }(s)=\prod _p{(1-\frac{\chi (p)}{p^s})}^{-1}$.

Ця формула відіграє важливу роль у застосуваннях $L$-функцій у теорії простих чисел.

Функційне рівняння

Нехай χ — примітивний характер модуля k. Позначимо

$\mathrm{\Lambda }(s,\chi )={\left(\frac{\pi }{k}\right)}^{-(s+a)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s+a}{2}\right)L(s,\chi ),$

де Γ — гамма-функція, а символ a заданий як

$a=\{\begin{array}{cc}0;& \chi (-1)=1,\\ 1;& \chi (-1)=-1,\end{array}$.

Тоді виконується функційне рівняння

$\mathrm{\Lambda }(1-s,\bar{\chi })=\frac{i^a{k}^{1/2}}{\tau (\chi )}\mathrm{\Lambda }(s,\chi ).$

Тут τ(χ) позначає суми Гаусса

$\sum _{n=1}^k\chi (n)\exp (2\pi in/k).$

Зауважимо, що |τ(χ)| = k^1/2.

Зв'язок з дзета-функцією Рімана

$L$-функція Діріхле, для головного характера по модулю k, пов'язана з дзета-функцією Рімана $\zeta (s)$ формулою

$L_{{\chi }_0}(s)=\zeta (s)\prod _{p|k}(1-\frac{1}{p^s})$.

Ця формула дозволяє довизначити $L_{{\chi }_0}(s)$ для області $Re(s)>0$ з простим полюсом в точці $s=1$.

Зв'язок з дзета-функцією Гурвіца

L-можуть бути подані як лінійні комбінації дзета-функцій Гурвіца у раціональних точках. Для цілого числа k ≥ 1, L-функції для характерів по модулю k є лінійними комбінаціями, зі сталими коефіцієнтами, функцій ζ(s,q) де q = m/k і m = 1, 2, …, k. Тому дзета-функція Гурвіца для раціональних q має властивості близькі до L-функцій. Конкретно, якщо χ — характер Діріхле по модулю k то його L-функція Діріхле є рівною

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}=\frac{1}{k^s}\sum _{m=1}^k\chi (m)\zeta (s,\frac{m}{k}).$

Зокрема для головного характера одержується рівність для дзета функції Рімана:

$\zeta (s)=\frac{1}{k^s}\sum _{m=1}^k\zeta (s,\frac{m}{k}).$

Корені L-функцій Діріхле

Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = 1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні парні цілі числа. Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = −1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні непарні цілі числа.

Для загального характеру $\chi$ існує примітивний характер ${\chi }^{*}$, що породжує $\chi$. Тоді виконується рівність $L_{\chi }(s)=L_{{\chi }^{*}}(s)\prod _{p|k}(1-\frac{{\chi }^{*}(p)}{p^s})$. Тому парні і непарні від'ємні цілі числа теж будуть коренями $L_{\chi }(s)$ залежно від знаку $\chi (-1)$. Але додатково коренями з Re(s) < 0 будуть точки в яких добуток позначений знаком добутку у формулі є рівним нулю.

Всі ці корені називаються тривіальними коренями L-функції Діріхле. Всі інші корені називаються нетривіальними. Відомо, що $L_{\chi }(s)\ne 0$ для $\mathrm{Re}(s)⩾1$, тому всі нетривіальні корені L-функції знаходяться у смузі $0<\mathrm{Re}(s)<1$. Вивчення розподілу нетривіальних нулів є важливою проблемою теорії чисел.

Кожна L-функція Діріхле має нескінченну кількість нетривіальних нулів. Згідно з узагальненої гіпотези Рімана усі вони лежать на прямій $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$.

Існує константа $c$, така що для всіх комплексних характерів модуля k якщо $L_{\chi }(\beta +i\gamma )=0$, то

$\beta <1-\frac{c}{\log (k(2+|\gamma |))}$.

Для дійсних характерів у цьому випадку відомо, що у області заданій цією нерівністю може бути щонайбільше 1 корінь, який може бути лише дійсним числом.

Інші обмеження можна ввести для L-функцій по заданому модулю. Якщо $L_{\chi }(\beta +i\gamma )=0$ для характера $\chi$ по модулю k то

$\beta <1-\frac{c_k}{{\log }^{2/3}(2+|\gamma |){\log }^{1/3}(\log (2+|\gamma |))}$,

де $c_k$ — константа, що залежить від $k$.

Див. також

• L-функція
• Дзета-функція Гурвіца
• Дзета-функція Рімана
• Ряд Діріхле
• Характер Діріхле

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.