Дискримінант (теорія полів)

Дискримінант системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії розширень полів, що є особливо важливою для числових полів і відповідно має широке застосування у алгебричній теорії чисел.

Означення

Нехай $K$ скінченне розширення поля $k$ степеня $n$. Відображення $K\times K\to k:(x,y)\to \mathrm{Tr}(x,y)$ де $x,y\in K$, a $\mathrm{Tr}$ — слід елемента є симетричною білінійною формою на полі $K$, що розглядається як лінійний простір над $k$. Дискримінант цієї білінійної форми щодо системи елементів $w_1,...,w_m$ з $K$ називається дискримінантом системи $w_1,...,w_m$ і позначається $D(w_1,...,w_m)$. Тобто, $D(w_1,w_2,\dots ,w_m):=\det (\mathrm{T}\mathrm{r}(w_i\cdot w_j))$.

Зокрема, якщо зазначена система є базисом $K$ над $k$, то її дискримінант називається дискримінантом базиса $K$ над $k$.

Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної алгебри над полем на випадок кілець і модулів над ними.

Поля алгебричних чисел

Нехай $k=\mathbb{Q}$ — поле раціональних чисел, $K$ — поле алгебричних чисел і $M$ — деяка ґратка рангу $n$. Тоді для будь-яких двох базисів ґратки $M$ значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається дискримінантом ґратки $M$.

Якщо $M$ є кільцем цілих чисел поля $K$, то дискримінант ґратки $M$ називається просто дискримінантом поля $K$ і позначається $D_K$. Число $D_K$, є важливою характеристикою поля $K$.

Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли $k$ — поле часток дедекіндового кільця $A$, a $K$ — скінченне сепарабельне розширення поля $k$ степеня $n$. Нехай $B$ — ціле замикання кільця $A$ в $K$ і $𝔟$ — довільний дробовий ідеал кільця $B$. Тоді дискримінантом ідеалу $𝔟$ називається $A$-модуль $D(𝔟)$, породжений всіма дискримінантами виду $D(w_1,...,w_n)$, де $\{w_1,...,w_n\}$ пробігає усі базиси поля $K$ над $k$, що належать $𝔟$. $D(𝔟)$ буде дробовим ідеалом кільця $A$. У випадку $𝔟=B$ для $D(B)$ також використовуються позначення $D_{K/k}$ і $D_{B/A}$. У цьому випадку $D(B)$ є ідеалом кільця $A$.

Зокрема якщо $A$ — кільце головних ідеалів і $𝔟=B$, то $B$ є вільним модулем над $A$ розмірності $n$ і $D(B)$ є головним ідеалом, породженим дискримінантом довільного базиса $B$ над $A$. Кожен такий базис є також базисом розширення $K/k$ і два такі дискримінанти відрізняються добутком на оборотний елемент, тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для $k=\mathbb{Q}$ і $A=\mathbb{Z}$. У випадку коли $A$ не є кільцем головних ідеалів, $B$ може не бути вільним модулем і $D(B)$ може не бути головним ідеалом.

Властивості

• Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля $k$.

Дійсно якщо $w_1,...,w_n$ і $z_1,...,z_n$ — два такі базиси і $A_{ij}$ — матриця переходу між ними, то, $(\mathrm{T}\mathrm{r}(w_i\cdot w_j))=A(\mathrm{T}\mathrm{r}(z_i\cdot z_j))A^T$. Тому з властивостей визначника випливає, що $D(w_1,...,w_n)=(\det (A){)}^{2}D(z_1,...,z_n)$.

• Дискримінант будь-якого базису$K$ над $k$ не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення $K/k$ є сепарабельним.
• Якщо $f_x(t)$ — многочлен степеня $m$, що є мінімальним многочленом елемента $x$ із сепарабельного розширення $K/k$, то $D(1,x,x^2,...,x^m)$ збігається із стандартним дискримінантом многочлена $f_x(t)$.
• У разі сепарабельного розширення $K/k$ дискримінант базиса $w_1,...,w_n$ може бути обчислений за формулою

$\mathrm{\Delta }(w_1,...,w_n)={(\det \left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1(w_1)& {\sigma }_1(w_2)& \cdots & {\sigma }_1(w_n)\\ {\sigma }_2(w_1)& \ddots & & ⋮\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ {\sigma }_n(w_1)& \cdots & \cdots & {\sigma }_n(w_n)\end{array}\right))}^2.$

де ${\sigma }_1,...,{\sigma }_n$ — усі різні вкладення $K$ у фіксоване алгебричне замикання поля $k$, що залишають нерухомими елементи $k$.

Дискримінанти числового поля

• Теорема Бриля: Знак дискримінанта числового поля є рівним $(-1{)}^{r_2}$ де $r_2$ є кількістю спряжених пар вкладень $K$ у поле комплексних чисел.
• Просте число $p$ розгалужується у $K$ якщо і тільки якщо $p$ ділить $D_K$.
• Теорема Штікельбергера:

${\mathrm{\Delta }}_K\equiv 0\text{ or }1(\mathrm{mod}4).$

• Обмеження Мінковського: Нехай $n$ — степінь розширення $K/\mathbb{Q}$ і $r_2$ — кількість спряжених пар вкладень $K$ у поле комплексних чисел. Тоді

$|{\mathrm{\Delta }}_K{|}^{1/2}\ge \frac{n^n}{n!}{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{r_2}\ge \frac{n^n}{n!}{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{n/2}.$

• Теорема Мінковського: Якщо $K$ не є рівним $\mathbb{Q}$, то $|D_K|>1$.
• Теорема Ерміта — Мінковського:Нехай $N$ — додатне ціле число. Тоді існує лише скінченна кількість (з точністю до ізоморфізму) алгебричних числових полів $K$ для яких $|D_K|⩽N$.
• Якщо $r_1,r_2$ — кількість дійсних і спряжених пар комплексних вкладень. Тоді

$\underset{q\to 1^{+}}{\lim }(q-1){\zeta }_k(q)=\frac{2^{r_1+r_2}{\pi }^{r_2}R}{m\sqrt{|}{D}_K|}h$

де ${\zeta }_k(q)$ — дзета-функція Дедекінда, $h$ — порядок групи класів ідеалів, $R$ — регулятор поля $K$ і $m$ — кількість коренів з одиниці в полі $K$.

Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда

Тут всюди $A$ — кільце дедекінда з полем часток $k$, $K$ — скінченне сепарабельне розширення поля $k$ степеня $n$, $B$ — ціле замикання кільця $A$ в $K$ і $𝔟$ — довільний дробовий ідеал кільця $B$.

• $D(𝔟)$ є дробовим ідеалом кільця $A$ і має місце рівність $D(𝔟)=N(𝔟)2D(B)$, де $N(𝔟)$ — норма ідеалу $𝔟$.
• Дискримінант $D(B)$ збігається з нормою диферента кільця $B$ над $A$.
• Якщо $S\subset A$ — мультиплікативна підмножина то $D_{B_S/A_S}=(D_{B/A}{)}_S$, де $S$ у нижньому індексі позначає локалізацію по мультиплікативній системі.

Приклади

• Квадратичні поля: нехай $d$ вільне від квадратів ціле число. Тоді дискримінант поля $K=𝐐(\sqrt{d})$ є рівним

$D_K=\{\begin{array}{cc}d& d\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ 4d& d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4).\end{array}$

• Кругові поля: нехай $n>2$ — ціле число і $K_n=\mathbb{Q}({\zeta }_n),$ — n-не кругове поле. Дискримінант цього поля є рівним

$D_{K_n}=(-1{)}^{\phi (n)/2}\frac{n^{\phi (n)}}{\prod _{p|n}{p}^{\phi (n)/(p-1)}}$

де $\phi (n)$ — функція Ейлера і добуток береться по всіх простих числах, що ділять $n$.

Див. також

• Визначник
• Дискримінант
• Слід (теорія полів)

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1