Зв'язність на головних розшаруваннях

В диференційній геометрії поняття зв'язності використовується для введення поняття паралельного перенесення, кривини і інших. Першочергово воно виникло для дотичних розшарувань диференційовних многовидів і згодом було узагальнено на інші типові об'єкти, зокрема головні розшарування особливо важливим прикладом яких для диференціальної геометрії є так звані реперні розшарування елементами яких є базиси відповідних дотичних просторів диференційовного многовиду.

Означення

Нехай $\pi :P\to M$ є головним розшаруванням зі структурною групою $G$. Для даної групи відповідно визначена права дія на розшаруванні

$R:P\times G\to P$.

Нехай, як звичайно, також $𝔤$ позначає алгебру Лі групи $G$.

Для $p\in P$ дана дія визначає ін'єктивне лінійне відображення $R_{*p}:𝔤\to T_{p}P.$ Елементи простору $T_{p}P$, що є образами при цьому відображенні називаються вертикальними векторами. Фактор-простір $T_{p}P$ по підпростору вертикальних векторів є ізоморфним до $T_{\pi (p)}M$. Зокрема відображення утворюють точну послідовність

$0\to 𝔤\stackrel{R_{*p}}{\to }{T}_{p}P\stackrel{{\pi }_{*}}{\to }{T}_{\pi (p)}M\to 0.$

Фактично задання зв'язності полягає у виборі доповнень в $T_{p}P$ до підпростору вертикальних векторів. Ці доповнення визначаються як ядра деякої $𝔤$-значної 1-форми на розшаруванні, що для вертикальних векторів є оберненою до відображень $R_{*p}.$

Формально зв'язністю називається $𝔤$-значна 1-форма $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P,𝔤)$, для якої виконуються умови:

$R_g^{*}\omega =\mathrm{Ad}(g^{-1})\circ \omega$ для всіх $g\in G$.

і

${\omega }_p\circ R_{*p}X=X$ для всіх $X\in 𝔤$.

де $R_g:P\to P$ позначає множення справа на елемент $g\in G$, ${\omega }_p$ — обмеження диференційної форми в точці $p\in P$, $\mathrm{Ad}:G\to GL(𝔤)$ — приєднане представлення групи Лі $\mathrm{Ad}(g)X=\frac{d}{dt}g\exp (tX)g^{-1}{|}_{t=0}.$

Підпростір векторів, що належать ядру ${\omega }_p$ називається простором горизонтальних векторів. Якщо позначити його як $H_p$, то справедливою є рівність

$(R_p{)}_{*}{H}_p=H_{pg},$ для всіх $p\in P,g\in G.$

Дану рівність є еквівалентною першій умові означення зв'язності.

Властивості і приклади

На будь-якому тривіальному головному розшаруванню $M\times G$ існує зв'язність яку задає класична Форма Маурера — Картана, якщо її значення визначати на другому аргументі добутку.

Будь-яка опукла комбінація форм, що задають зв'язності теж є зв'язністю. Як наслідок з цієї і попередньої властивості на довільному головному розшаруванні над паракомпактним гладким многовидом можна ввести зв'язність. Для цього потрібно ввести зв'язності породжені формами Маурера — Картана на локально скінченному покритті локально тривіальними відкритими підмножинами і застосувати відповідне розбиття одиниці.

Нехай $\pi :P\to M$ і $\overline{\pi }:Q\to N$ — два диференційовні головні розшарування зі структурною групою $G$ і також $\phi :P\to Q$ і $\psi :M\to N$ — диференційовні відображення для яких $\overline{\pi }\circ \phi =\psi \circ \pi .$ Тоді для довільної зв'язності $\omega$ на $Q$ диференційна форма ${\phi }^{*}\omega$ є зв'язністю на $P.$

Кривина

Формою кривини для зв'язності $\omega$ називається 2-форма:

$\mathrm{\Omega }=d\omega +\frac{1}{2}[\omega \wedge \omega ].$

В формулі вище використані позначення

$[\omega \wedge \eta ](v_1,v_2)=[\omega (v_1),\eta (v_2)]-[\omega (v_2),\eta (v_1)]$де справа $[\cdot ,\cdot ]$ позначає дужки Лі векторних полів

і зовнішня похідна $d\omega$:

$d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).$

Якщо форма кривини всюди рівна нулю, то зв'язність називається плоскою. На розшаруванні $\pi :P\to M$ можна ввести плоску зв'язність тоді і тільки тоді коли існує покриття $\{U_{\alpha }\}$ бази $M$ відкритими множинами для яких ${\pi }^{-1}{U}_{\alpha }$ є тривіальними розшаруваннями і функції переходу $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ є константами.

Форма кривини є горизонтальною, тобто якщо хоча б один з її аргументів є вертикальним вектором, то в цій точці вона приймає нульове значення. Також форма кривини є $G$-еквіваріантною, тобто $R_g^{*}\mathrm{\Omega }=\mathrm{Ad}(g^{-1})\circ \mathrm{\Omega }.$

Рівність Б'янкі

Зовнішня похідна форми кривини рівна

$d\mathrm{\Omega }=[\mathrm{\Omega },\omega ]$.

Паралельне перенесення

Для довільної гладкої кривої $\gamma :[0,1]\to M$ і точки $x\in {\pi }^{-1}(\gamma (0))$ існує єдина крива $\tilde{\gamma }:[0,1]\to P$ для якої ${\tilde{\gamma }}_x(0)=x,$ $\pi ({\tilde{\gamma }}_x)=\gamma$ і окрім того дотичний вектор до $\tilde{\gamma }$ є горизонтальним вектором у відповідній точці кривої.

Для довільної гладкої кривої $\gamma :[0,1]\to M$ можна визначити відображення

$P_{\gamma }(x)={\tilde{\gamma }}_x(1),x\in {\pi }^{-1}(\gamma (0)).$

Відображення $P_{\gamma }:{\pi }^{-1}(\gamma (0))\to {\pi }^{-1}(\gamma (1))$, називається паралельним перенесенням вздовж кривої $\gamma$.

Для довільної точки $p\in P$ введені відображення визначають групу голономій як підкрупу групи дифеоморфізмів простору $F_p:={\pi }^{-1}(p)$ щодо паралельних перенесень вздовж замкнутих кривих з початком і кінцем в цій точці. А саме якщо $\gamma :[0,1]\to P$ гладка крива для якої $\gamma (0)=\gamma (1)=p$ і $x\in F_p$ то визначена як вище крива $\tilde{\gamma }$ для якої $\tilde{\gamma }(0)=x$ визначає відображення $f_{\gamma }(x):=\tilde{\gamma }(1)$. Дане відображення є автоморфізмом простору $F_p.$ Група автоморфізмів $f_{\gamma }$ для всіх таких кривих $\gamma$ називається групою голономій.

Див. також

• Афінна зв'язність
• Головне розшарування
• Зв'язність на векторних розшаруваннях
• Форма Маурера — Картана

Посилання

• Manifold Atlas Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation