Зв'язність на векторних розшаруваннях

Зв'язність на векторних розшаруваннях в диференціальній геометрії дозволяє ввести на довільних векторних розшаруваннях такі поняття як паралельне перенесення, тензори кривини і кручення і інші. Таким чином значна частина теорії і ідей може бути перенесена з гладких многовидів і їх дотичних розшарувань на векторні розшарування. Для зв'язності на векторних розшарування часто також використовується термін зв'язність Кошуля на честь французького математика Жана-Луї Кошуля.

Означення

Нехай E → M — гладке векторне розшарування над диференційовним многовидом M. Позначимо множину гладких перетинів розшарування E як Γ(E). Звязністю на E називається ℝ-лінійне відображення

$\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E\otimes T^{*}M)$

для якого також виконується правило добутку

$\mathrm{\nabla }(\sigma f)=(\mathrm{\nabla }\sigma )f+\sigma \otimes df$

для всіх гладких функцій f на многовиді M і всіх гладких перетинів σ розшарування E.

Зважаючи на властивості тензорних добутків векторних розшарувань і їх перетинів для області значень також можна дати еквівалентні інтерпретації:

$\mathrm{\Gamma }(E\otimes T^{*}M)\cong {\mathrm{\Omega }}^1(M){\otimes }_{C^{\mathrm{\infty }}(M)}\mathrm{\Gamma }(E)\cong {\mathrm{Hom}}_{C^{\mathrm{\infty }}(M)}(\mathrm{\Gamma }(TM),\mathrm{\Gamma }(E)),$

де другий тензорний добуток та множина лінійних відображень визначені для модулів над кільцем $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ гладких функцій на многовиді M, а ${\mathrm{\Omega }}^1(M)$ позначає множину диференціальних 1-форм на M.

Зокрема, розглядаючи останній термін в цій еквівалентності, якщо X є векторним полем на M (тобто гладким перетином дотичного розшарування TM) можна ввести коваріантну похідну за напрямком X:

${\mathrm{\nabla }}_X:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E)$

прийнявши ∇_Xσ = (∇σ)(X). Дана коваріантна похідна задовольняє властивості:

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{\nabla }}_X({\sigma }_1+{\sigma }_2)={\mathrm{\nabla }}_X{\sigma }_1+{\mathrm{\nabla }}_X{\sigma }_2\\ & {\mathrm{\nabla }}_{X_1+X_2}\sigma ={\mathrm{\nabla }}_{X_1}\sigma +{\mathrm{\nabla }}_{X_2}\sigma \\ & {\mathrm{\nabla }}_X(f\sigma )=f{\mathrm{\nabla }}_X\sigma +X(f)\sigma \\ & {\mathrm{\nabla }}_{fX}\sigma =f{\mathrm{\nabla }}_X\sigma .\end{array}$

Навпаки кожен оператор, що задовольняє ці властивості визначає зв'язність на E. Тобто еквівалентно зв'язність можна визначити як оператор

$\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(TM)\otimes \mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E)$

що задовольняє вказані умови.

Форма зв'язності

Нехай тепер $U\subset M$ — відкрита підмножина, така що $E{|}_U:={\pi }^{-1}(U)$ є тривіальним векторним розшаруванням. Якщо $e_1,\dots ,e_n\in \mathrm{\Gamma }(E{|}_U)$ — гладкі перетини, такі що для кожної точки $p\in U$ вектори $e_1(p),\dots ,e_n(p)$ утворюють базис векторного простору ${\pi }^{-1}(p)$ (такі множини перетинів називаються реперами на $U$), то з використанням позначень вище елементи тензорного добутку ${\mathrm{\Omega }}^1(U){\otimes }_{C^{\mathrm{\infty }}(U)}\mathrm{\Gamma }(E{|}_U)$ можна записати як $\sum _{i=1}^n{\omega }_i\otimes e_i$ для деяких ${\omega }_i\in {\mathrm{\Omega }}^1(U).$

Відповідно для зв'язності $\mathrm{\nabla }$ на розшаруванні E на обмеженні $E{|}_U$ можна записати:

$\mathrm{\nabla }(e_i)=\sum _{j=1}^n{A}_{ij}\otimes e_j,i=1,\dots ,n$

де $A_{ij}\in {\mathrm{\Omega }}^1(U)$ — елементи матриці, що називається формою зв'язності для $e_1,\dots ,e_n$ і позначається A.

Навпаки для довільної матриці елементи якої належать ${\mathrm{\Omega }}^1(U)$ і репера $e_1,\dots ,e_n$ на $U$, формула вище визначає зв'язність на $\mathrm{\Gamma }(E{|}_U).$

Оскільки $s\in \mathrm{\Gamma }(E{|}_U)$ можна однозначно записати як $s=\sum _{i=1}^n{s}_i{e}_i,$ де $s_i\in C^{\mathrm{\infty }}(U)$, то отримуємо:

$\mathrm{\nabla }\left(\sum _{i=1}^n{s}_i{e}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}d{s}_i\otimes e_i+\sum _{i=1}^n{s}_i\mathrm{\nabla }{e}_i=\sum _{i,j=1}^n(d{s}_i+s_i{A}_{ij})\otimes e_j.$

Побудова нових зв'язностей зі старих

• Зворотне відображення. З гладким відображенням $f:M^{\prime }\to M$ пов'язане векторне розшарування на $M^{\prime }$, що позначається $f^{*}E$ шаром якого в точці $p$ є шар E в точці $f(p)$. Зв'язність $\mathrm{\nabla }$ на E індукує зв'язність $f^{*}\mathrm{\nabla }$ на $f^{*}E$. Для гладкого перетину s на E і для вектора $X\in T_p{M}^{\prime }$, можна визначити :$f^{*}{\mathrm{\nabla }}_X(s\circ f)={\mathrm{\nabla }}_{df(X)}s\circ f$. Локальні перетини на $f^{*}E$ породжуються перетинами виду $s\circ f$ і тому зв'язність визначена попередньою формулою лише для деяких перетинів продовжується до зв'язності визначеної всюди. Вона і називається зворотним відображенням зв'язності $\mathrm{\nabla }$.

Якщо $\mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^1$ і ${\mathrm{\nabla }}^2$ — зв'язності визначені відповідно на векторних розшаруваннях E=E₁ і E₂ з єдиним базисним простором M, то також можна ввести зв'язності :

• Зв'язність на прямій сумі $E_1\oplus E_2$, що позначається ${\mathrm{\nabla }}^1\oplus {\mathrm{\nabla }}^2$ :

$({\mathrm{\nabla }}^1\oplus {\mathrm{\nabla }}^2{)}_X(s_1\oplus s_2)=\underset{X}{\overset{1}{\mathrm{\nabla }}}{s}_1\oplus \underset{X}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}{s}_2$ ;

• Зв'язність на тензорному добутку $E_1\otimes E_2$, що позначається ${\mathrm{\nabla }}^1\otimes {\mathrm{\nabla }}^2$ :

$({\mathrm{\nabla }}^1\otimes {\mathrm{\nabla }}^2{)}_X(s_1\otimes s_2)=\underset{X}{\overset{1}{\mathrm{\nabla }}}{s}_1\otimes s_2+s_1\otimes \underset{X}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}{s}_2$ ;

• Зв'язність на двоїстому розшаруванні E^* :

$X\cdot \lambda (s)=({\mathrm{\nabla }}_X\lambda )(s)+\lambda ({\mathrm{\nabla }}_{X}s)$ ;

• Зв'язність на розшаруванні $End(E_1,E_2)$ :

${\mathrm{\nabla }}_X(\varphi (s))=({\mathrm{\nabla }}_X\varphi )(s)+\varphi ({\mathrm{\nabla }}_{X}s)$.

Паралельне перенесення

Нехай додатково до всіх понять введених вище також $\gamma :[0,1]\to M$— гладка крива і $\dot{\gamma }(t)$ — відповідне дотичне поле. Довільний гладкий перетин $s\in \mathrm{\Gamma }(E)$ тоді індукує перетин вздовж кривої $s(t):=s(\gamma (t)).$

Зв'язність $\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(TM)\otimes \mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E)$ однозначно визначає оператор ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}s(t)$ значення якого теж є гладким перетином вздовж кривої.

Перетин $s(t)$ називається паралельним вздовж кривої $\gamma (t)$, якщо виконується умова

${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}s(t)=0,\mathrm{\forall }t\in [0,1].$

Паралельний вздовж кривої перетин має задовольняти систему диференціальних рівнянь і з теорії цих рівнянь випливає існування і єдиність такого перетину для заданого початкового значення $s(0).$ Таким чином для даної кривої $\gamma (t)$ визначено відображення з векторного простору $E_{\gamma (0)}$ у векторний простір $E_{\gamma (1)}$, яке загалом залежить від кривої, що сполучає точки і введеної на розшаруванні зв'язності. Визначене таким чином відбраження є лінійним ізоморфізмом цих просторів. Більш загально лінійний ізоморфізм визначений між простором $E_{\gamma (0)}$ і просторами над усіма точками кривої $\gamma (t)$. Ці відображення називають паралельними перенесенями векторів з $E_{\gamma (0)}$ вздовж кривої $\gamma (t).$

Оператори вищих порядків

Нехай E → M — векторне розшарування. На ньому можна визначити простори векторозначних диференціальних форм

${\mathrm{\Omega }}^r(E)={\mathrm{\Omega }}^r(M){\otimes }_{C^{\mathrm{\infty }}(M)}\mathrm{\Gamma }(E).$

Нехай також за означенням

${\mathrm{\Omega }}^0(E)=\mathrm{\Gamma }(E).$

Тоді в цих позначеннях зв'язність на E → M є лінійним відображенням

$\mathrm{\nabla }:{\mathrm{\Omega }}^0(E)\to {\mathrm{\Omega }}^1(E).$

На просторах ${\mathrm{\Omega }}^r(E)$ можна ввести добуток. Нехай $E_1,E_2$ — векторні розшарування над многовидом M. Тоді можна ввести білінійний добуток

$\wedge :({\mathrm{\Omega }}^i(E_1),{\mathrm{\Omega }}^j(E_2))\to {\mathrm{\Omega }}^{i+j}(E_1\otimes E_2),$

прийнявши

$(\omega \otimes s)\wedge (\tau \otimes t)=\omega \wedge \tau \otimes (t\otimes s),\mathrm{\forall }\omega \in {\mathrm{\Omega }}^i(M),\tau \in {\mathrm{\Omega }}^j(M),s,t\in \mathrm{\Gamma }(E).$

Також для $E=M\otimes ℝ$ множина ${\mathrm{\Omega }}^r(E)$ є ізоморфною до множини ${\mathrm{\Omega }}^r(M)$.

Тоді існує єдина множина лінійних операторів

$d^{\mathrm{\nabla }}:{\mathrm{\Omega }}^r(E)\to {\mathrm{\Omega }}^{r+1}(E).$

для яких виконуються умови:

• $d^{\mathrm{\nabla }}=\mathrm{\nabla },j=0$
• $d^{\mathrm{\nabla }}(\omega \wedge \tau )=d\omega \wedge \tau +(-1{)}^i\omega \wedge d^{\mathrm{\nabla }}\tau ,\mathrm{\forall }\omega \in {\mathrm{\Omega }}^i(M)\cong {\mathrm{\Omega }}^i(M\otimes ℝ),\tau \in {\mathrm{\Omega }}^j(E).$

А саме для $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^j(M),s\in \mathrm{\Gamma }(E)$ дане відображення однозначно визначене як:

$d^{\mathrm{\nabla }}(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1{)}^j\omega \wedge \mathrm{\nabla }s.$

Ці відображення можна розглядати як узагальнення зовнішньої похідної, проте у цьому випадку не обов'язково (d^∇)² = 0. Натомість оператор (d^∇)² є пов'язаним з кривиною у векторних розшаруваннях.

Кривина

Кривиною зв'язності ∇ на E → M є 2-форма F^∇ на M із значеннями в розшаруванні ендоморфізмів End(E) = E⊗E*. Тобто

$F^{\mathrm{\nabla }}\in {\mathrm{\Omega }}^2(\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E)=\mathrm{\Gamma }(\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E){\otimes }_{C^{\mathrm{\infty }}(M)}{\mathrm{\Omega }}^2(M)).$

Її можна визначити рівністю

$F^{\mathrm{\nabla }}(X,Y)(s)={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}s-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}s-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}s$

де X іY є векторними полями на M, а s є гладким перетином E.

Еквівалентно $F^{\mathrm{\nabla }}=d^{\mathrm{\nabla }}\circ \mathrm{\nabla }:{\mathrm{\Omega }}^0(E)\to {\mathrm{\Omega }}^2(E).$ Дане відображення є $C^{\mathrm{\infty }}(M)$-лінійним гомоморфізмом модулів.

Див. також

• Афінна зв'язність
• Векторне розшарування
• Зв'язність (диференціальна геометрія)
• Зв'язність на головних розшаруваннях
• Зв'язність Леві-Чивіти

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation