Експонента матриці

Експонента матриці — матрична функція від квадратної матриці, що має багато властивостей аналогічних звичайній експоненційній функції дійсних чи комплексних чисел. Матрична експонента встановлює зв'язок між алгеброю Лі матриць і відповідною групою Лі.

Визначення

Для дійсної або комплексної матриці $X$ розміру $n\times n$ $(X\in M(n,ℂ))$ експонента від $X$, що позначається як $e^X$ або $\exp (X)$ — матриця розміру $n\times n$, визначена за допомогою ряду:

$e^X=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{X}^k$,

де $X^k$ — k-а степінь матриці $X$.

Даний ряд завжди збігається абсолютно. Якщо $\Vert X\Vert =\alpha$, де взято матричну норму узгоджену з векторною (для скінченновимірних просторів усі норми еквівалентні), то $\Vert \frac{1}{k!}{X}^k\Vert ⩽\frac{1}{k!}\Vert X{\Vert }^k⩽\frac{1}{k!}{\alpha }^k$.

Звідси $\Vert \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{X}^k\Vert ⩽\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\Vert X^k\Vert ⩽\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\alpha }^k=e^{\alpha }$, що доводить абсолютну збіжність ряду і коректність визначення.

Якщо $X$ — матриця розміру $1\times 1$, то матрична експонента від $X$ є матриця розмірності $1\times 1$ , єдиний елемент якої дорівнює звичайній експоненті від єдиного елемента $X$.

Еквівалентне визначення

Експоненційну функцію можна також визначити наступною рівністю.

$\exp X=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(I+\frac{1}{n}X)}^n,$ де $I$ — одинична матриця відповідної розмірності.

Ця рівність є аналогічною до рівності $e^a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{a}{n})}^n,$ що виконується для дійсних і комплексних чисел.

Для доведення рівності використовується формула ${(1+\frac{a}{m})}^m=\sum _{k=0}^m\frac{a^k}{k!(m-k)!},$ де a може бути як числом, так і матрицею.

Тоді якщо для тої ж норми, що й вище $\Vert X\Vert =a,$ то:

$\Vert e^X-{(I+\frac{1}{n}X)}^n\Vert ⩽\sum _{k=0}^n\frac{a^k}{k!}-\frac{a^k}{k!(n-k)!}+\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^k}{k!}=e^a-{(1+\frac{a}{n})}^n\to 0,$ при $n\to \mathrm{\infty },$ що й доводить твердження.

Властивості

Основні властивості

Для комплексних матриць $X$ і $Y$ розміру $n\times n$, довільних комплексних чисел $a$ і $b$, одиничної матриці $I$ і нульової матриці $0$, експонента має наступні властивості:

• $\exp 0=I$;
• Матриці $X$ і $\exp X$ комутують, тобто $X\exp (X)=\exp (X)X.$ Це легко виводиться з визначення експоненти, як суми збіжного ряду, кожен доданок якого очевидно комутує з $X$.
• $\exp aX\exp bX=\exp ((a+b)X)$;
• $\exp X\exp (-X)=I$;
• Якщо $XY=YX$, то $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp (X+Y)$;
• Якщо $Y$ — невироджена матриця, то $\exp (YX{Y}^{-1})=Y\exp (X)Y^{-1}$.
• $\exp X^{\mathrm{T}}=(\exp X{)}^{\mathrm{T}}$, де $X^{\mathrm{T}}$ позначає транспоновану матрицю до $X$, це означає, що якщо $X$ є симетричною, то $\exp X$ теж симетрична, а якщо $X$ — кососиметрична матриця, то $\exp X$ — ортогональна;
• $\exp (X^{*})=(\exp X{)}^{*}$, де $X^{*}$ позначає ермітово-спряжену матрицю для $X$, це означає, що якщо $X$ — ермітова матриця, то $\exp X$ теж ермітова, а якщо $X$ — антиермітова матриця, то $\exp X$ — унітарна.
• $\det (\exp X)=\exp (\text{tr}(X)),$ де $\det$ — визначник, а $\text{tr}$ — слід матриці.

Експонента суми

Для будь-яких двох дійсних чисел (скалярів) $x$ і $y$ експоненціальна функція задовольняє рівнянню $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$, це ж властивість має місце для симетричних матриць — якщо матриці $X$ і $Y$ комутують (тобто $XY=YX$), то $\exp (X+Y)=\exp (X)\exp (Y)$. Однак, для некомутативних матриць ця рівність виконується не завжди, в загальному випадку для обчислення $\exp (X+Y)$ використовується Шаблон:Нп5.

У загальному випадку з рівності $\exp (X+Y)=\exp (X)\exp (Y)$ не випливає, що $X$ і $Y$ комутують.

Для ермітових матриць існує дві прості теореми, пов'язані з слідом експонент матриць.

Нерівність Голдена - Томпсона

Якщо $A$ і $H$ — ермітові матриці, то :

$\mathrm{tr}\exp (A+H)⩽\mathrm{tr}(\exp (A)\exp (H))$,

де $\mathrm{tr}X$ — слід матриці $X$. Комутативність для виконання цього твердження не потрібна. Існують контрприклади, які показують, що нерівність Голдена — Томпсона не може бути узагальнена на три матриці, а $\mathrm{tr}(\exp (A)\exp (B)\exp (C))$ не завжди є дійсним числом для ермітових матриць $A$, $B$ і $C$.

Теорема Ліба

Теорема Ліба, названа ім'ям Еліота Ліба, стверджує, що для фіксованої ермітової матриці $H$, функція:

$f(A)=\mathrm{tr}\exp (H+\log A)$

є увігнутою на конусі додатноозначених матриць .

Експоненціальне відображення

Експонента матриці завжди є невиродженою матрицею. Обернена до $\exp X$ матриця рівна $\exp (-X)$, це аналог того факту, що експонента від комплексного числа ніколи не дорівнює нулю. Таким чином, матрична експонента визначає відображення:

$\exp :M_n(ℂ)\to \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℂ)$

з простору всіх матриць розмірності $n\times n$ на загальну лінійну групу порядку $n$, тобто групу всіх невироджених матриць розмірності $n\times n$. Це відображення є сюр'єкцією, тобто кожна невироджена матриця може бути записана як експонента від деякої іншої матриці (щоб це твердження було справедливим необхідно розглядати поле комплексних чисел $ℂ$, а не дійсних чисел $ℝ$).

Для будь-яких двох матриць $X$ і $Y$ має місце нерівність

$\Vert e^{X+Y}-e^X\Vert ⩽\Vert Y\Vert e^{\Vert X\Vert }{e}^{\Vert Y\Vert }$,

де $\Vert \cdot \Vert$ позначає довільну матричну норму. Звідси випливає, що експоненціальне відображення є неперервним і ліпшицевим на компактних підмножинах $M_n(ℂ)$.

Загалом експоненційне відображення не є ін'єктивним. Але воно буде ін'єктивним, наприклад на підмножині $X\in B(0,\ln 2)\subset M(n,ℂ),$де $B(0,\ln 2)$— множина матриць норма яких (узгоджена з векторною нормою) менша ніж ln 2. На цій множині експоненційна функція є дифеоморфізмом і обернена функція може бути подана, як сума збіжного ряду:

$\log (Y)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}(Y-I{)}^k.$

Диференціювання

Відображення:

$t\mapsto e^{tX},t\in ℝ$

визначає гладку криву в загальній лінійній групі, яка проходить через одиничний елемент при $t=0$.

Похідна цього відображення визначається формулою:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{tX}=X{e}^{tX}.$

Справді з визначень похідної і властивостей експоненти одержується послідовність рівностей:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{tX}=\underset{t_0\to 0}{\lim }\frac{e^{(t+t_0)X}-e^{tX}}{t_0}=\underset{t_0\to 0}{\lim }\frac{e^{t_{0}X}-I}{t_0}{e}^{tX}=\underset{t_0\to 0}{\lim }(X+O(t_0))e^{tX}=X{e}^{tX}.$

Більш загально для матриці X(t) залежної від параметра t справедливою є рівність:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{X(t)}=e^X\frac{1-e^{-\mathrm{a}\mathrm{d}(X)}}{\mathrm{a}\mathrm{d}(X)}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t},$

де $\mathrm{a}\mathrm{d}(X):M(n,ℂ)\to M(n,ℂ)$— лінійне відображення визначене $\mathrm{a}\mathrm{d}(X)(Y)=[X,Y]=XY-YX,$для довільної матриці $Y\in M(n,ℂ).$

У попередній формулі для виразу в правій частині справедлива формула:

$\frac{1-e^{-\mathrm{a}\mathrm{d}(X)}}{\mathrm{a}\mathrm{d}(X)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k+1)!}(\mathrm{a}\mathrm{d}(X){)}^k.$

Взявши в формулі для диференціювання $X(t)=X+tY,$ отримуємо формулу для диференціала експоненційного відображення в точці $X\in M(n,ℂ):$

$({\mathrm{d}}_X\exp )Y=\exp \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{X+tY}=e^X\frac{1-e^{-\mathrm{a}\mathrm{d}(X)}}{\mathrm{a}\mathrm{d}(X)}Y,\mathrm{\forall }Y\in M(n,ℂ)\simeq T_{X}M(n,ℂ).$

При $XY=YX$ ця рівність спрощується до $({\mathrm{d}}_X\exp )Y=e^{X}Y.$

Системи лінійних диференціальних рівнянь

Одна з причин, які зумовлюють важливість матричної експоненти, полягає в тому, що вона може бути використана для розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь . Розв'язок системи:

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t),y(0)=y_0$,

де $A$ — стала матриця, дається виразом:

$y(t)=e^{At}{y}_0.$

Матрична експонента може бути також використана для розв'язування неоднорідних рівнянь виду

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)+z(t),y(0)=y_0$.

Не існує замкнутого аналітичного виразу для рішень неоднорідних диференціальних рівнянь виду

$\frac{d}{dt}y(t)=A(t)y(t),y(0)=y_0$,

де $A$ — матриця елементи якої не є константами, але Шаблон:Нп5 дозволяє отримати подання розв'язку у вигляді нескінченної суми.

Приклад однорідної системи

Для системи:

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -y& +z\\ y^{\prime }& =& & 3y& -1z\\ z^{\prime }& =& 2x& +y& +3z.\end{array}$

матриця рівна:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right].$

Можна показати, що експонента від матриці $tA$ є

$e^{tA}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}{e}^{2t}(1+e^{2t}-2t)& -2t{e}^{2t}& e^{2t}(-1+e^{2t})\\ -e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)& 2(t+1)e^{2t}& -e^{2t}(-1+e^{2t})\\ e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)& 2t{e}^{2t}& e^{2t}(1+e^{2t})\end{array}\right],$

таким чином, загальним розв'язком цієї системи рівнянь є:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\frac{x(0)}{2}\left[\begin{array}{c}{e}^{2t}(1+e^{2t}-2t)\\ -e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)\\ e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)\end{array}\right]+\frac{y(0)}{2}\left[\begin{array}{c}-2t{e}^{2t}\\ 2(t+1)e^{2t}\\ 2t{e}^{2t}\end{array}\right]+\frac{z(0)}{2}\left[\begin{array}{c}{e}^{2t}(-1+e^{2t})\\ -e^{2t}(-1+e^{2t})\\ e^{2t}(1+e^{2t})\end{array}\right].$

Приклад неоднорідної системи

Для розв'язку неоднорідної системи:

$\begin{array}{ccccccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -& y& +& z& +& e^{2t}\\ y^{\prime }& =& & & 3y& -& z& \\ z^{\prime }& =& 2x& +& y& +& 3z& +& e^{2t}\end{array}$

вводяться позначення:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right],$

і

$𝐛=e^{2t}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Так як сума загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку дають загальний розв'язок неоднорідного рівняння, залишається лише знайти частковий розв'язок. Так як:

${𝐲}_p=e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{(-u)A}\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}\\ 0\\ e^{2u}\end{array}\right]du+e^{tA}𝐜$

${𝐲}_p=e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}2e^u-2u{e}^{2u}& -2u{e}^{2u}& 0\\ \\ -2e^U+2(u+1)e^{2u}& 2(u+1)e^{2u}& 0\\ \\ 2u{e}^{2u}& 2u{e}^{2u}& 2e^u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}\\ 0\\ e^{2u}\end{array}\right]du+e^{tA}𝐜$

${𝐲}_p=e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}(2e^u-2u{e}^{2u})\\ \\ e^{2u}(-2e^u+2(1+u)e^{2u})\\ \\ 2e^{3u}+2u{e}^{4u}\end{array}\right]du+e^{tA}𝐜$

${𝐲}_p=e^{tA}\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\\ \\ \frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t+4)-16)\\ \\ \frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2e^t-2t{e}^{2t}& -2t{e}^{2t}& 0\\ \\ -2e^T+2(t+1)e^{2t}& 2(t+1)e^{2t}& 0\\ \\ 2t{e}^{2t}& 2t{e}^{2t}& 2e^t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right],$

де $𝐜={𝐲}_p(0)$ — початкова умова.

Узагальнення: варіація довільної сталої

У разі неоднорідної системи можна використовувати метод варіації довільної сталої. Шукається частковий розв'язок у вигляді: ${𝐲}_p(t)=\exp (tA)𝐳(t)$:

$\begin{array}{cc}{{𝐲}_p}^{\prime }(t)& =(e^{tA}{)}^{\prime }𝐳(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)\\ & =A{e}^{tA}𝐳(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)\\ & =A{𝐲}_p(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t).\end{array}$

Щоб ${𝐲}_p$ була розв'язком, має виконуватися наступне:

$\begin{array}{cc}{e}^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)& =𝐛(t)\\ {𝐳}^{\prime }(t)& =(e^{tA}{)}^{-1}𝐛(t)\\ 𝐳(t)& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-uA}𝐛(u)du+𝐜.\end{array}$

Таким чином:

$\begin{array}{cc}{𝐲}_p(t)& =e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-uA}𝐛(u)du+e^{tA}𝐜\\ & =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{(t-u)A}𝐛(u)du+e^{tA}𝐜\end{array},$

де $𝐜$ визначається з початкових умов задачі.

Див. також

• Експонента (теорія груп Лі)

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Посилання

• Weisstein, Eric W., «Matrix Exponential» Шаблон:Webarchive, MathWorld
• Module for the Matrix Exponential