Умови Коші — Рімана

Шаблон:Комплексний аналіз Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну $u=u(x,y)$ та уявну $v=v(x,y)$ частини функції комплексної змінної $w=f(z)=u+\mathrm{i}v$, $z=x+\mathrm{i}y$, що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність $f(z)$ як функції комплексної змінної.

Візуальне зображення вектора $X$ в області, що множиться на комплексне число $z$, а потім відображається за допомогою функції $f$, у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції $f$, а потім множиться на комплексне число$z$. Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх $X$ і $z$, то функція $f$ задовольняє умови Коші—Рімана.

Графік функції $f(x)=\frac{(x^2-1)(x-2-\mathrm{i}{)}^2}{(x^2+2+2\mathrm{i})}$. Аргумент відображує тон зображення, а величину функції — насиченість малюнка.

Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних $u(x,y)$ і $v(x,y)$ є двома рівняннями: Шаблон:NumBlk Шаблон:NumBlk Як правило $u$ та $v$ вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної $z=x+\mathrm{i}y$,

$f(x+\mathrm{i}y)=u(x,y)+v(x,y).$

Нехай функції $u$ і $v$ є дійснозначними диференційованими в точці відкритої підмножини комплексної площини $ℂ$, які можна розглядати як функції з ${ℝ}^2$ в $ℝ$. З цього випливає, що частинні похідні від функцій $u$ і $v$ існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції $f$. Тоді $f=u+\mathrm{i}v$ є комплексно-диференційованою у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій $u$ та $v$ задовольняють рівняння Коші—Рімана (Шаблон:EquationNote) та (Шаблон:EquationNote) у цій точці. Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції $u$ і $v$ повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.

Голоморфність — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини $ℂ$ (це називається Шаблон:Нп в $ℂ$). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція $f$, дійсні та уявні частини якої відповідно $u$ і $v$ є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння (Шаблон:EquationNote) і (Шаблон:EquationNote) задовольняються на всій заданій Шаблон:Нп. Шаблон:Нп і навпаки. Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. Це не вірно для дійсних диференційованих функцій.

Теорема

Для того, щоб функція $w=f(z)$, визначена в деякій області $D$ комплексної площини, була диференційовна в точці $z_0=x_0+\mathrm{i}{y}_0$ як функція комплексної змінної $z$, необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини $u$ і $v$ були диференційовними в точці $(x_0,y_0)$ як функції дійсних змінних $x$ і $y$ і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:

В декартових координатах

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$;

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.

В полярних координатах

$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \phi }$;

$\frac{\partial u}{\partial \phi }=-r\frac{\partial v}{\partial r}.$

Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна $f^{\prime }(z)$ може бути подана в будь-якій з наступних форм:

$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}.$

Наслідки

• Виконання умов Коші—Рімана, на відкритій підмножині $ℂ$ є необхідними умовами аналітичності функції.
• Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.

Простий приклад

Нехай $z=x+\mathrm{i}y$. Комплекснозначна функція $f(z)=z^2$ є диференційованою в будь-якій точці $z$ комплексної площини,

$f(z)=(x+\mathrm{i}y{)}^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy.$

Дійсна частина $u(x,y)$ і уявна частина $v(x,y)$ мають вигляд

$u(x,y)=x^2-y^2$,

$v(x,y)=2xy$.

А їх частинні похідні:

$u_x=2x,u_y=-2y,v_x=2y,v_y=2x.$

Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$,

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.

Дійсно функції $u(x,y)$ та $v(x,y)$ задовольняють умови Коші—Рімана: $u_x=v_y$ і $u_y=-v_x$.

Історія

У комплексному аналізі умови Коші—Рімана, які названі на честь Оґюстена Коші та Бернгарда Рімана, складаються із Шаблон:Нп двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову голоморфності (комплексно диференційованості) комплекснозначної функції. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі Жана Лерона д'Аламбера.. Пізніше Леонард Ейлер пов'язав цю систему з аналітичними функціями. Потім Коші використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.

Інтерпретація та переформулювання

Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі комплексного аналізу: іншими словами, вони включають в себе поняття функції комплексної змінної за допомогою звичайного диференціального числення. У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.

Конформні відображення

Більше інформації: Конформне відображення

По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі Шаблон:NumBlk У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що матриця Якобі має вигляд

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right),$

де $a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y$ та $b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y$. Матриця такого вигляду є матричним представленням комплексного числа. Геометрично така матриця завжди є композицією обертання і масштабування і, зокрема, зберігає кути. Якобіан функції $f(z)$ бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці $z$ і повертає їх до відповідних відрізків у точці $f(z)$. Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. Тобто умови Коші—Рімана є умовою конформності функції.

Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь. Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.

Комплексна диференційованість

Нехай

$f(z)=u(z)+\mathrm{i}\cdot v(z)$

є функцією комплексної змінної $z=x+\mathrm{i}y$. Тоді комплексна похідна від функції $f$ у точці $z_0$ визначається як

$\underset{\underset{h\in ℂ}{h\to 0}}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=f^{\prime }(z_0)$

за умови існування цієї границі.

Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при $h\to 0$ вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат. Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо

$\underset{\underset{h\in ℝ}{h\to 0}}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(z_0).$

З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,

$\underset{\underset{\eta \in ℝ}{\eta \to 0}}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{i}\eta )-f(z_0)}{i\eta }=\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).$

Із рівності похідних функції $f$ вздовж двох осей отримаємо

$\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(z_0),$

які є рівняннями Коші—Рімана (Шаблон:EquationNote) у точці $z_0$.

І навпаки, якщо $f:ℂ\to ℂ$ є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на ${ℝ}^2$, то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана. Іншими словами, якщо $u$ і $v$ є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно $u+\mathrm{i}v$ є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але $u+\mathrm{i}v$ є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.

Справді, слідуючи Рудіну, нехай $f$ — комплексна функція, що визначена на відкритій множині $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$. Тоді, записавши $z=x+\mathrm{i}y$ для кожного $z\in \mathrm{\Omega }$, можна розглядати $\mathrm{\Omega }$ як відкриту підмножину ${ℝ}^2$, і $f$ як функцію двох дійсних змінних $x$ і $y$, яка відображає $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$ у $ℂ$. Розглянемо умови Коші—Рімана у точці $z=z_0$. Нехай функція $f$ є диференційованою у точці $z_0$ як функція двох дійсних змінних з $\mathrm{\Omega }$ в $ℂ$. Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення

$f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)=f_x\mathrm{\Delta }x+f_y\mathrm{\Delta }y+\eta (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z,$

де $z=x+\mathrm{i}y$ та $\eta (\mathrm{\Delta }z)\to 0$ при $\mathrm{\Delta }z\to 0$. Оскільки $\mathrm{\Delta }z+\mathrm{\Delta }\overline{z}=2\mathrm{\Delta }x$ і $\mathrm{\Delta }z-\mathrm{\Delta }\overline{z}=2\mathrm{i}\mathrm{\Delta }y$, то вищезазначене можна переписати як

$\mathrm{\Delta }f(z_0)=\frac{f_x-\mathrm{i}{f}_y}{2}\mathrm{\Delta }z+\frac{f_x+\mathrm{i}{f}_y}{2}\mathrm{\Delta }\overline{z}+\eta (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z.$

Визначаючи дві Шаблон:Нп як

$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y}),\frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y}),$

при $\mathrm{\Delta }z\to 0$, $\mathrm{\Delta }\overline{z}\to 0$ рівність написану вище можна записати як

${\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}|}_{z=z_0}={\frac{\partial f}{\partial z}|}_{z=z_0}+{\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}|}_{z=z_0}\cdot \frac{\mathrm{d}\overline{z}}{\mathrm{d}z}+\eta (\mathrm{\Delta }z),\mathrm{\Delta }z\ne 0.$

Тепер розглянемо потенційні значення $\mathrm{d}\overline{z}/\mathrm{d}z$, коли границя обчислюється в початку координат. Для $z$ вздовж дійсної осі маємо, що $\overline{z}=z$, а тому $\mathrm{d}\overline{z}/\mathrm{d}z=1$. Аналогічно для чисто уявного $z$ маємо, що $\mathrm{d}\overline{z}/\mathrm{d}z=-1$, а тому значення $\mathrm{d}\overline{z}/\mathrm{d}z$ не добре визначеним в початку координат. Легко перевірити, що $\mathrm{d}\overline{z}/\mathrm{d}z$ не є добре визначеним при будь-якому значенні $z$. Звідси функція $f$ є комплексно диференційованою в точці $z_0$ тоді й лише тоді, коли $(\partial f/\partial \overline{z})=0$ у точці $z=z_0$. Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція $f$ диференційована в точці $z_0$ тоді й лише тоді, коли в точці $z_0$ виконуються умови Коші—Рімана.

Незалежність від комплексного спряження

Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана. Комплексно спряжене для числа $z$, позначається як $\overline{z}$, визначається як

$\overline{x+\mathrm{i}y}:=x-\mathrm{i}y$

для дійсних $x$ та $y$. Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння Шаблон:NumBlk використовуючи Шаблон:Нп. У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція $f$ є незалежною від змінної $\overline{z}$. Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.

Фізична інтерпретація

Візуальне зображення вектора $X$ в області, що множиться на комплексне число $z$, а потім відображається за допомогою функції $f$, у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції $f$, а потім множиться на комплексне число $z$. Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх $X$ і $z$, то функція $f$ задовольняє умови Коші—Рімана.

Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій, полягає в тому, що функція $u$ є Шаблон:Нп нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а $v$ — Шаблон:Нп. Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій $u$, $v$ задовольняє умови Коші—Рімана. Розглянемо функцію $u$ як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що вектор швидкості рідини в кожній точці цієї площини дорівнює градієнту функції $u$, визначеному як

$\mathrm{\nabla }u=\frac{\partial u}{\partial x}𝒊+\frac{\partial u}{\partial y}𝒋.$

Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція $u$ є розв'язком рівняння Лапласа:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0.$

Тобто $u$ — гармонічна функція. Це означає, що дивергенція градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.

З аналогічних міркувань функція $v$ також задовольняє рівняння Лапласа. Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що скалярний добуток градієнтів функцій $u$ та $v$ дорівнює нулю, тобто $\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }v=0$. Це означає, що градієнт функції $u$ має вказувати на криві $v=\text{const}$; отже, це лінії току течії. Криві $u=\text{const}$ є еквіпотенціальними кривими течії.

Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств кривих рівнів $u=\text{const}$ і $v=\text{const}$. Поблизу точок, де градієнт функції $u$ (або, еквівалентно, функції $v$) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють ортогональне сімейство кривих. У точках, де $\mathrm{\nabla }u=0$ (стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для $u=\text{const}$ перетинаються. Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.

Гармонічне векторне поле

Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі Поя та Сего.. Нехай функції $u$ і $v$ задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині ${ℝ}^2$, розглянемо векторне поле

$\overline{f}=\left[\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right],$

яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор. Тоді друга умова Коші—Рімана (Шаблон:EquationNote) стверджує, що вектор $\overline{f}$ є безвихровим (його ротор дорівнює 0):

$\frac{\partial (-v)}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0.$

Перша умова Коші—Рімана (Шаблон:EquationNote) стверджує, що задане векторне поле є соленоїдним (його дивергенція дорівнює 0):

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial (-v)}{\partial y}=0.$

Відповідно до теореми Гріна та теореми Остроградського таке поле обов'язково є потенціальним, тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. (Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в інтегральній теоремі Коші.) У гідродинаміці таке векторне поле є Шаблон:Нп. У магнітостатиці такі векторні поля моделюють статичні магнітні поля в області площини, яка не містить струму. В електростатиці вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.

Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові диференціальних форм. Пара функцій $u$, $v$ задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли 1-форма $v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y$ одночасно Шаблон:Нп і козамкнена (гармонічна диференціальна форма).

Збереження комплексної структури

Інше формулювання умов Коші—Рімана включає Шаблон:Нп на площині, яка задана матрицею

$J=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right].$

Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці $J$ є від'ємна одинична $2\times 2$ матриця: $J^2=-I$. Як і вище, якщо $u(x,y)$, $v(x,y)$ — дві функції на площині, то покладемо

$f(x,y)=\left[\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right].$

Матриця Якобі для функції $f$ — це матриця частинних похідних

$Df(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right].$

Тоді пара функцій $u$ та $v$ задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли $2\times 2$ матриця $Df$ комутує з матрицею $J$.

Ця інтерпретація корисна в симплектичній геометрії, де вона є початковою точкою для вивчення псевдоголоморфних кривих.

Інше представлення

Інше представлення умов Коші—Рімана іноді виникають в інших системах координат. Якщо рівняння (Шаблон:EquationNote) і (Шаблон:EquationNote) виконуються для диференційованої пари функцій $u$ і $v$, то

$\frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial s},\frac{\partial v}{\partial n}=-\frac{\partial u}{\partial s}$

для будь-якої системи координат $(n(x,y),s(x,y))$ такої, що пара $(\mathrm{\nabla }n,\mathrm{\nabla }s)$ Шаблон:Нп і додатно орієнтована. Як наслідок, зокрема, у системі координат заданій полярним представленням $z=r^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ рівняння набувають вигляду

$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }.$

Об'єднавши їх в одне рівняння для функції $f$, отримуємо

$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{1}{\mathrm{i}r}\frac{\partial f}{\partial \theta }.$

Неоднорідні умови Коші—Рімана складаються з двох рівнянь для пари невідомих функцій $u(x,y)$ і $v(x,y)$ двох дійсних змінних

$\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=\alpha (x,y),$

$\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=\beta (x,y)$

для деяких заданих функцій $\alpha (x,y)$ і $\beta (x,y)$, що визначені у відкритій підмножині в ${ℝ}^2$. Ці рівняння зазвичай об'єднують в одне рівняння

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\phi (z,\overline{z}),$

де $f=u+\mathrm{i}v$ і $\phi =(\alpha +\mathrm{i}\beta )/2$.

Якщо функція $\phi$ є неперервно диференціовною функцією порядку $k$ (гладкою функцією порядку $k$), то неоднорідне рівняння явно розв'язується в будь-якій обмеженій області $D$ за умови, що функція $\phi$ є неперервною на замиканні області $D$. Дійсно, за інтегральною формулою Коші

$f(\zeta ,\overline{\zeta })=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{D}{\iint }\phi (z,\overline{z})\frac{\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}\overline{z}}{z-\zeta }$

для всіх $\zeta \in D$.

Узагальнення

Теорема Гурса та її узагальнення

Дивись також: Теорема Коші—Гурса

Нехай $f=u+\mathrm{i}v$ — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$. Тоді теорема Гурса стверджує, що функція $f$ є аналітичною у відкритій комплексній області $\mathrm{\Omega }$ тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області. Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції $f$. Умови теореми Гурса можна значно послабити. Якщо функція $f=u+\mathrm{i}v$ є неперервною на відкритій множині частинні похідні від функції $f$ за змінними $x$ і $y$ існують на множині $\mathrm{\Omega }$ і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині $\mathrm{\Omega }$, то функція $f$ є голоморфною (і, отже, аналітичною). Це результат теореми Лумана—Меньшова.

Умова, що функція $f$ задовольняє умови Коші—Рімана на усій області $\mathrm{\Omega }$, є суттєвою. Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, $f(z)=z^5/|z{|}^4)$). Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад

$f(z)=\{\begin{array}{cc}\exp (-z^{-4}),& \text{якщо}z=0,\\ 0,& \text{якщо}z=0.\end{array}$

Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці $z=0$.

Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:

Якщо функція $f(z)$ локально інтегрована на відкритій області $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція $f$ майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області $\mathrm{\Omega }$.

Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків гіпоеліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Випадок кількох змінних

Існують належним чином узагальнені умови Коші—Рімана і в Шаблон:Нп. Вони утворюють суттєво Шаблон:Нп диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це робиться з використанням прямого узагальнення Шаблон:Нп, де розглянута функція повинна мати (частинну) похідну Віртінгера відносно кожної комплексної змінної, яка дорівнює нулю.

Комплексні диференціальні форми

Як зазвичай формулюють, Шаблон:Нп $\overline{\partial }$ анулює голоморфні функції. Це безпосередньо узагальнює формулювання

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0,$

де

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}).$

Перетворення Беклунда

З точки зору Шаблон:Нп умови Коші—Рімана є простим прикладом перетворення Беклунда. Більш складні, у загальному випадку нелінійні перетворення Беклунда, такі як рівняння синус-Ґордона, представляють значний інтерес у теорії солітонів та інтегрованих систем.

Означення в алгебрі Кліффорда

В алгебрі Кліффорда комплексне число $z=x+\mathrm{i}y$ представляється як $z\equiv x+Iy$, де $I\equiv {\sigma }_1{\sigma }_2$. Оператор фундаментальної похідної в алгебрі Кліффорда комплексних чисел визначається як $\mathrm{\nabla }\equiv {\sigma }_1{\partial }_x+{\sigma }_2{\partial }_y$. Функція $f=u+Iv$ вважається аналітичною тоді й лише тоді, коли $\mathrm{\nabla }f=0$, або у розгорнутому вигляді:

$\begin{array}{cc}0=\mathrm{\nabla }f& =({\sigma }_1{\partial }_x+{\sigma }_2{\partial }_y)(u+{\sigma }_1{\sigma }_{2}v)\\ & ={\sigma }_1{\partial }_{x}u+\underset{={\sigma }_2}{\underbrace{{\sigma }_1{\sigma }_1{\sigma }_2}}{\partial }_{x}v+{\sigma }_2{\partial }_{y}u+\underset{=-{\sigma }_1}{\underbrace{{\sigma }_2{\sigma }_1{\sigma }_2}}{\partial }_{y}v=0.\end{array}$

Після перегрупування отримаємо

$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }f={\sigma }_1({\partial }_{x}u-{\partial }_{y}v)+{\sigma }_2({\partial }_{x}v+{\partial }_{y}u)=0\{\begin{array}{c}{\partial }_{x}u-{\partial }_{y}v=0,{\partial }_{x}v+{\partial }_{y}u=0.\end{array}\end{array}$

Звідси, у традиційних позначеннях:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{array}$

Конформні відображення для вищих розмірностей

Нехай $\mathrm{\Omega }$ — відкрита множина в евклідовому просторі ${ℝ}^n$. Рівняння для відображення, що зберігає орієнтацію, $f:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ є конформним відображенням (тобто таке що зберігає кути), якщо

$D{f}^{𝖳}Df=(\det (Df){)}^{2/n}I,$

де $Df$ — матриця Якобі, $D{f}^{𝖳}$ — трансформована матриця Якобі, $I$ — одинична матриця. У випадку $n=2$ ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. У розмірності $n>2$ ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з теореми Ліувіля випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є перетворенням Мебіуса.

Див. також

• Голоморфна функція
• Теорема Лумана — Меньшова
• Теорема Морери

Література

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book

Додаткова література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Шаблон:Cite book

Зовнішні посилання

• Шаблон:MathWorld
• Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews