Соленоїдне векторне поле

Приклад соленоїдного векторного поля, $𝐯(x,y)=(y,-x)$

У векторному численні соленоїдне векторне поле (також відоме як нести́сливе векторне поле або бездивергентне векторне поле ) — це векторне поле v з нульовою дивергенцією в усіх точках поля:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=0.$

Властивості

Фундаментальна теорема векторного числення стверджує, що будь-яке векторне поле можна виразити як суму безвихорового і соленоїдного полів. Умова нульової дивергенції задовольняється, коли векторне поле v має векторний потенціал, оскільки визначення векторного потенціалу A як:

$𝐯=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

автоматично дає тотожність:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0.$

Обернене твердження також правильне: для будь-якого соленоїдного поля v існує векторний потенціал A такий, що $𝐯=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$ (Строго кажучи, це виконується лише за деяких технічних умов на v, див. теорема розкладання Гельмгольца.)

Формула Остроградського дає тотожне інтегральне визначення соленоїдного поля; а саме, що для всякої замкненої поверхні, загальний потік крізь поверхню має дорівнювати нулю:

де $d𝐒=𝐧\cdot S$, а $𝐧$ — зовнішня нормаль для кожного елемента поверхні.

Етимологія

Соленоїдний походить від грецького слова соленоїд (σωληνοειδές - sōlēnoeidēs), що означає трубоподібний.

Приклади

• магнітне поле B є соленоїдним (див. Рівняння Максвелла);
• поле швидкості нести́сливої рідини є соленоїдним (випливає з $\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$);
• Електричне поле в областях, де відсутні джерела (заряди). Для соленоїдності поля E необхідна умова (або взаємна компенсація) вільних і зв'язаних зарядів.
• Поле вектора густини струму соленоїдальне за умови відсутності зміни густини заряду із часом (тоді соленоїдальність струму випливає з рівняння неперервності).

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Шаблон:Mathworld