Ротор (математика)

Шаблон:Otheruses Шаблон:Числення Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.

$\text{rot}𝐀=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ A_x& A_y& A_z\end{array}\right|=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})𝐤$

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.

Позначення

$\mathrm{rot}$ (використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або

$\mathrm{curl}$ (в англомовній),

а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:

$\mathrm{\nabla }\times .$

Приклад

Обертання навколо осі $z$ зі сталою кутовою швидкістю $w$ (траєкторії є колами з центром на $z-$осі): $𝐯=⟨-wy,wx,0⟩.$

Тоді $\mathrm{\nabla }\times 𝐯=\dots =0\widehat{𝐢}+0\widehat{𝐣}+(w+w)\widehat{𝐤}=2w\widehat{𝐤}.$ Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Фізичне значення

Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.

Функцію $(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅)$ можна розглядати як вимір тенденції $𝐅$ створювати обертання. Інтерпретуючи $𝐅$ як силове поле або поле швидкостей, $𝐅$ примушуватиме об'єкт розташований у точці $P_0$ обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до $(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅{)}_0.$

Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом $a$ і центром у $(x_0,y_0),$ і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б $𝐅\cdot 𝐭,$ тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).

Оскільки $𝐅\cdot 𝐭,$ не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню $𝐅\cdot 𝐭,$ уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:

швидкість лопаті	$=\frac{1}{2\pi a}{\oint }_C𝐅\cdot 𝐭ds=\frac{1}{2\pi a}{\oint }_C𝐅\cdot d𝐫$
	$=\frac{1}{2\pi a}\int \underset{R}{\int }(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅{)}_{0}dxdy,$ згідно з теоремою Гріна
	$\approx \frac{1}{2\pi a}(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅{)}_0\pi a^2,$

де $(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅{)}_0$ це значення функції у $(x_0,y_0).$ Обґрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді $(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅)$ по всьому регіону має значення приблизно $(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅{)}_0,$ отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:

$\frac{a}{2}(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅{)}_0.$

Ми можемо позбутися $a$ використавши кутову швидкість:

${\omega }_0\approx \frac{1}{2}(\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐅{)}_0.$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:МГЕ