Збіжність за мірою

Збіжність за мірою у теорії міри, функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це вид збіжності вимірних функцій заданих на просторі з мірою.

Частковим випадком міри є ймовірність, відповідно, збіжність за ймовірністю є частковим випадком збіжності за мірою.

Збіжність за ймовірністю у теорії ймовірностей — це вид збіжності випадкових величин заданих на ймовірнісному просторі.

Збіжність за мірою

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — простір з мірою $f_n,f:X\to {ℝ}^m,n=1,2,\dots$ — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збігається за мірою до функції $f$, якщо: $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mu (\{x\in X\mid \Vert f_n(x)-f(x)\Vert >\epsilon \})=0$.

Позначення: $f_n\stackrel{\mu }{⟶}f$.

Збіжність за ймовірністю

Нехай дано імовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$, з визначеною на ньому послідовністю випадкових величин $X_n,X,n=1,2,\dots$. Якщо для як завгодно малого $\epsilon$, ймовірність нерівності $|X_n-X|<\epsilon$ зі збільшенням $n$ необмежено наближається до нуля, то говорять, що послідовність $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збігається за ймовірністю до величини $X$.

Тобто,

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}P(|X_n-X|>\epsilon )=0$.

Цю границю можна записати в інший спосіб:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}P(|X_n-X|<\epsilon )=1$.

Позначення збіжності за ймовірністю: $X_n\stackrel{P}{⟶}X$.

Зауваження

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

Властивості збіжності за мірою

• Якщо послідовність функцій $f_n$ збігається за мірою до $f$, то з неї можна виділити підпослідовність $f_{n_k}$, що збігається до $f$ $\mu$ — майже всюди.

• Якщо послідовність функцій $f_n$ збігається за мірою до $f$, і $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},|f_n|⩽g$, де $g\in L^p,p⩾1$, то $f_n,f\in L^p$, і $f_n$ збігається до $f$ у $L^p$.

• Якщо послідовність функцій $f_n$ збігається $\mu$-майже усюди до $f$, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність функцій $f_n$ збігається в $L^p$ до $f$, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність випадкових величин $X_n$ збігається за ймовірністю до $X$, то вона збігається до $X$ і за розподілом.

Джерела

• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель