Характеристична функція випадкової величини

Під характеристи́чною фу́нкцією $\psi (t)$ випадкової величини $X$ розуміють математичне сподівання випадкової величини $e^{itX}$:

$\psi (t)=M(e^{itX})(1)$,

де $t$ — дійсний параметр.

Якщо $F(x)$ — функція розподілу $X$, то

$\psi (t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}dF(x)$

У випадку дискретного розподілу

$\psi (t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{it{x}_k}{p}_k$

(ряд Фур'є з коефіцієнтами $p_k$). У випадку неперервного розподілу

$\psi (t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}f(x)dx$

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини

• Коли випадкова величина $X$ дискретна, тобто $\mathbb{P}(X=x_k)=p_k,k=1,2,\dots$, то

${\varphi }_X(t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{it{x}_k}{p}_k$.

Приклад. Нехай $X$ має розподіл Бернуллі. Тоді

${\varphi }_X(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=p{e}^{it}+q$.

• Коли $X$ — це абсолютно неперервна випадкова величина, тобто має щільність $f_X(x)$, то

${\varphi }_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{f}_X(x)dx$.

Приклад. Нехай $X\sim U[0,1]$ має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

${\varphi }_X(t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{itx}\cdot 1dx={\frac{e^{itx}}{it}|}_0^1=\frac{e^{it}-1}{it}$.

Властивості характеристичних функцій

Для будь-якої характеристичної функції $\psi (t)$

$\psi (0)=1|\psi (t)|\le 1(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty })$,

Якщо $Y=aX+b$ з константами $a$ і $b$, то ${\psi }_Y(t)={\psi }_X(at)e^{ibt}$ (${\psi }_X$ — характеристична функція $X$).

Якщо $X$ є $n$ раз диференційованою по $t$, то при $k\le n$

${\psi }^{(k)}(0)=i^{k}M{X}^k.$

$\psi (t)$ є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.

Якщо $X_1,\dots ,X_n$ - незалежні випадкові величини, та $a_1,\dots ,a_n$ - деякі константи, тоді

${\psi }_{a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n}(t)={\psi }_{X_1}(a_{1}t)\cdots {\psi }_{X_n}(a_{n}t).$

Характеристична функція є самоспряженою: ${\psi }_{\xi }(-t)={\psi }_{-\xi }(t)=\overline{{\psi }_{\xi }(t)}$

Випадкова величина $\xi$ є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція ${\psi }_{\xi }(t)$ є дійснозначною.

Формули перетворення і теорема єдиності

Нехай $F(x)$ — функція розподілу, а $\psi (t)$ — характеристична функція випадкової величиини $X$. Якщо $x_1$, $x_2$ — точки неперервності $F(x)$, то

$F(x_2)-F(x_1)=\frac{1}{2\pi }\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{it{x}_1}-e^{it{x}_2}}{it}\psi (t)dt$

Якщо $X$ — неперервна, а $f(x)$ — густина $F(x)$, то спрощується

$f(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}\psi (t)dt$

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (Шаблон:Lang-ru) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для $X$ отримано характеристичну функцію $e^{iat-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$, то, згідно з теоремою єдиності і $X\in N(x;a,\sigma )$

Гранична теорема для характеристичних функцій

Послідовність $\{F(x)\}$ функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу $F(x)$, якщо у всіх точках неперервності

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(x)=F(x)$

У дискретному випадку збіжність в основному $F_n(x)$ до $F(x)$, означає, що відповідні функції збігаються: $p_k^n\to p_k$ для всіх $k$.

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо $f_n(x)$ неперервні) $f_n(x)\to f(x)$ для всіх $x$.

Якщо послідовність $\{F_n(x)\}$ функції розподілу збігається в основному до функції розподілу $F(x)$, то послідовність відповідних характеристичних функцій $\{{\psi }_n(t)\}$ збігається до $\psi (t)$ — характеристичної функції $F(x)$. Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій $\{{\psi }_n(t)\}$ збігається до неперервної функції $\psi (t)$, то послідовність відповідних функцій розподілу $\{F_n(x)\}$ збігається до деякої функції розподілу $F(x)$ і $\psi (t)$ є характеристичною функцією $F(x)$).

Твірні функції

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення $0,1,\dots$ часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай $p_k$ є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини $X$ вказаного типу, а $z$ — комплексний параметр. Тоді

$\varphi (t)=\sum _k{p}_k{z}^k$

називається твірною функцією випадкової величини $X$. Функція $\varphi (z)$ — аналітична в $|z|<1$. Її границя при $z\to e^{it}$ дає характеристичну функцію $F(x)$.

Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.

Характеристичні функції багатомірних випадкових величин

Під характеристичною функцією $n$-мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини $\exp \sum _k{t}_k{X}_k$:

$\psi (t_1,\dots ,t_n)=M\exp i\sum _k^n{t}_k{X}_k$,

де $t_1,...,$, $t_n$ — дійсні параметри.

Див. також

• Твірна функція моментів
• Генератриса (твірна функція)
• Генератриса цілочисельної випадкової величини

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.