Неперервний рівномірний розподіл

Рівномірний розподіл (неперервний) — в теорії імовірностей розподіл, який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.

Визначення

Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку $[a,b]$, де $a,b\in ℝ$, якщо щільність $f_X(x)$ має вигляд:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a},& x\in [a,b]\\ 0,& x\in ̸[a,b]\end{array}.$

Пишуть: $X\sim U[a,b]$. Деколи значення щільності в граничних точках $x=a$ і $x=b$ міняють на інші, наприклад $1/2(b-a)$. Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.

Функція розподілу

Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:

$F_X(x)\equiv \mathbb{P}(X\le x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\ 1,& x\ge b\end{array}.$

Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка $[a,b]$, то функція розподілу в цих точках не є диференційовною. В інших точках справедлива рівність:

$\frac{d}{dx}{F}_X(x)=f_X(x),\mathrm{\forall }x\in ℝ\setminus \{a,b\}$.

Функція моментів

Простим інтегруванням отримуємо:

$M_X(t)=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$,

звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:

$𝔼\left[X\right]=\frac{a+b}{2}$,

$𝔼\left[X^2\right]=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$,

$\mathrm{D}X=\frac{(b-a{)}^2}{12}$.

Таким чином

$𝔼\left[X^n\right]=\frac{1}{n+1}\sum _{k=1}^n{a}^k{b}^{n-k}$.

Стандартний рівномірний розподіл

Якщо $a=0$, а $b=1$, тобто $X\sim U[0,1]$, то такий неперервний рівномірний розподіл називають стандартним. Має місце твердження: Якщо випадкова величина $X\sim U[0,1]$, і $Y=a+(b-a)X$, де $a<b$, то $Y\sim U[a,b]$. Таким чином, маючи генератор випадкового вибору із стандартного неперервного рівномірного розподілу, легко побудувати генератор вибору будь-якого неперервного рівномірного розподілу.

Див. також

• Дискретний рівномірний розподіл
• Рівномірно розподілена послідовність

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко