Генератриса цілочисельної випадкової величини

Дискретну випадкову величину $\xi$ яка приймає значення з множини $Z^{+}=\{0,1,\dots \}$ будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями $p_n=P\{\xi =n\},n\in Z^{+}$, де $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n=1$.

Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію

${\mathrm{\Psi }}_{\xi }(s)=M{s}^{\xi }(|s|\le 1)$,

яка виражається через закон розподілу такою функцією:

${\mathrm{\Psi }}_{\xi }(s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n{s}^n$,

яка очевидно збігається при $|s|\le 1$.

Застосування в теорії ймовірностей

Якщо $\xi$ — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: $M[X]={\mathrm{\Psi }}^{\prime }(1)$.

Дійсно,

${\mathrm{\Psi }}^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{p}_n{s}^{n-1}$.

При підстановці $s=1$ отримаємо величину ${\mathrm{\Psi }}^{\prime }(1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{p}_n$, яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.

Якщо цей ряд розбігається, то$\underset{s\to 1}{\lim }{P}^{\prime }(s)=\mathrm{\infty }$ -- а $X$ має нескінченне математичне сподівання, $P^{\prime }(1)=M[X]=\mathrm{\infty }$

• Тепер візьмемо твірну функцію $Q(s)$ послідовності «хвостів» розподілу $\{q_k\}$

$q_k=\mathbb{P}(X>j)=\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}{p}_j;Q(s)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_k{s}^k.$

Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією $P(s)$ властивістю: $Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}$ при $|s|<1$. З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:

$M[X]=P^{\prime }(1)=Q(1)$

• Диференціюючи $P^{\prime }(s)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{p}_k{s}^{k-1}$ і використовуючи співвідношення $P^{\prime }(s)=Q(s)-(1-s)Q^{\prime }(s)$, отримаємо:

$M[X(X-1)]=\sum k(k-1)p_k=P^{″}(1)=2Q^{\prime }(1)$

Для того, щоб отримати дисперсію $D[X]$, до цього виразу треба додати $M[X]-M^2[X]$, що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:

$D[X]=P^{″}(1)+P^{\prime }(1)-P{\text{'}}^2(1)=2Q^{\prime }(1)+Q(1)-Q^2(1)$.

У випадку нескінченної дисперсії $\underset{s\to 1}{\lim }{P}^{″}(s)=\mathrm{\infty }$.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко