Абсолютно неперервна випадкова величина

Означення

Випадкова величина ξ називається абсолютно неперервною, якщо її функція розподілу допускає представлення $F_{\xi }(x)=\underset{X}{\int }{p}_{\xi }(x)dx$, де $p_{\xi }(x)$ — невід'ємна інтегровна за Лебегом функція. Функція $p_{\xi }(x)$ називається функцією густини імовірності випадкової величини ξ.

Способи задання

Нехай ξ — абсолютно неперервна випадкова величина, тоді є два способа її задання:

• за допомогою функції густини імовірності $p_{\xi }(x)$;
• за допомогою функції розподілу ймовірностей $F_{\xi }(x)$.

Приклад задачі, що призводить до даного поняття

Розглянемо стохастичний експеримент, який полягає в тому, що ми обираємо випадковим чином число з інтервалу [0, 1]. Сенс фрази «випадковим чином» полягає у рівноймовірності обрання нами чисел з довільних двох однакових неперерізних інтервалів, які є підмножинами [0, 1] (наприклад, ймовірність того, що наш вибір буде числом, меншим ніж 0,5 дорівнює 0,5 і т. д.). Розглянемо відповідну випадкову величину ξ, реалізація якої є результатом цього стохастичного експерименту. Тоді ймовірність того, що ця випадкова величина набуде значення менше нуля дорівнює 0, а ймовірність того, що ця випадкова величина набуде значення, що перевищує одиницю дорівнює 1. А на інтервалі [0, 1] функція розподілу, очевидно, зростатиме лінійно. Отже, отримаємо такі результати:

• функція розподілу $F_{\xi }(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ x,& x\in [0,1)\\ 1,& x\ge 1\end{array}$
• функція щільності $p_{\xi }(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ 1,& x\in [0,1)\\ 0,& x\ge 1\end{array}$

Приклади розподілів абсолютно неперервних випадкових величин

• Бета-розподіл
• Рівномірний розподіл (неперервний)
• Хі-розподіл
• Нецентрований хі-розподіл
• Розподіл хі-квадрат
• Експоненційний розподіл
• T-розподіл Стьюдента
• Гамма-розподіл
• Розподіл Коші
• Розподіл Фішера
• Розподіл Ландау
• Розподіл Лапласа
• Нормальний розподіл

Див. також

• Розподіл імовірностей
• Дискретна випадкова величина

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко