Розподіл хі-квадрат

Розподіл хі-квадрат (Шаблон:Nowrap) з 'n' ступенями вільності — неперервний розподіл, що визначається як розподіл суми квадратів 'n' незалежних випадкових величин з стандартним нормальним розподілом. Тобто якщо ξ₁, ..., ξ_n — незалежні стандартні нормальні випадкові величини, то випадкова величина X_n²=ξ₁²+...+ξ_n² матиме розподіл хі-квадрат з 'n' ступенями вільності.

Розподіл хі-квадрат є одним з найважливіших у статистиці. Зокрема він використовується у критеріях хі-квадрат (наприклад критерії узгодженості Пірсона).

Розподіл хі-квадрат є частковим випадком гамма-розподілу.

Вступ

Ланкастер показав зв'язок між біноміальним, нормальним і хі-квадрат розподілами, як показано нижче. Де Муавр і Лаплас встановили, що біноміальний розподіл можна наблизити через нормальний розподіл. Точніше вони показали асимптотичну нормальність випадкової величини

$\chi =\frac{m-Np}{\sqrt{(Npq)}},$

де m — це спостережена кількість успіхів в N спробах, де ймовірність успіху p, а q = 1 − p.

Підносимо до квадрату обидві частини рівняння

${\chi }^2=\frac{(m-Np{)}^2}{(Npq)}$

Використовуючи N = Np + N(1 − p), N = m + (N − m), та q = 1 − p, це рівняння спрощується до

${\chi }^2=\frac{(m-Np{)}^2}{(Np)}+\frac{((N-m)-Nq{)}^2}{(Nq)}$

Вираз праворуч має форму, яку Пірсон узагальнив до:

${\chi }^2=\sum _{i=1}^n\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i},$

де

${\chi }^2$ — кумулятивна тестова статистика Пірсона, яка асимптотично наближується до ${\chi }^2$ розподілу.

$O_i$ — кількість спостережень типу i.

$E_i-N{p}_i$ — очікувана (теоретична) частота типу i, згідно з нульовою гіпотезою, яка стверджує, що частка типу i в популяції становить $p_i$

$n$ — кількість комірок в таблиці.

У випадку біноміального виходу (підкидання монети), біноміальний розподіл можна апроксимувати через нормальний (для досить великих n). З того, що квадрат нормального розподілу — це розподіл хі-квадрат з одним ступенем вільності, ймовірність результату як-от 1 аверс з 10 спроб, можна апроксимувати через нормальний розподіл чи розподіл хі-квадрат. Однак, багато задач потребують більше ніж два виходи як у біноміальному випадку, натомість вони потребують 3 або більше категорій, що призводить до поліноміального розподілу. Просто де Муавр і Лаплас шукали і знайшли нормальне наближення до біноміального, Пірсон шукав і знайшов багатовимірне нормальне наближення до поліноміального розподілу. Пірсон показав, що розподіл хі-квадрат, сума багатьох нормальних розподілів, був таким наближенням до поліноміального розподілу.

Розподіл хі-квадрат

Щільність імовірності

Розподіл хі-квадрат зосереджений на додатній півосі і має щільність:

$P_{x^2}(n)(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }x<0\\ \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n/2)2^{n/2}}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2},& \text{if }x\ge 0\end{array}$,

де $\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$ — гамма-функція.

Функція розподілу

Функція розподілу хі-квадрат розподілу записується

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}\gamma (k/2,x/2)$

При n>+2 χ²-розподіл має моду в точці x = n - 2. Характеристична функція χ²-розподілу має вигляд f(t)=(1-2it)^-n/2.
Математичне сподівання і дисперсія розподілу хі-квадрат рівні, відповідно, n і 2n.

Властивості χ²-розподілу

• Розподіл хі-квадрат є стійким відносно додавання. Якщо Y₁, Y₂ незалежні, і $Y_1\sim {\chi }^2(n_1),Y_2\sim {\chi }^2(n_2)$, то $Y_1+Y_2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$
• З визначення легко отримати моменти розподілу хі-квадрат. Якщо $Y\sim {\chi }^2(n)$ то $E[Y]=nD[Y]=2n$
  
• Через центральну граничну теорему, при великому числі ступенів вільності розподіл випадкової величини $Y\sim {\chi }^2(n)$ може бути наближений нормальним $Y\approx N(n,2n)$. Точніше $\frac{Y-n}{\sqrt{2n}}\to N(0,1)$ по розподілу при $n\to \mathrm{\infty }$.

Застосування

Сума незалежних випадкових величин X_n1²+...+X_nk² з n₁, n₂ ..., n_k ступенями вільності, відповідно, підкоряється хі-квадрат розподілу з n = n₁ + n₂ + ... + n_k ступенями вільності. Завдяки тісному зв'язку з нормальним розподілом χ²-розподіл відіграє важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці. χ²-розподіл, і багато інших розподілів, які визначаються за допомогою χ²-розподілу (наприклад — розподіл Стьюдента), описують вибіркові розподіли різних функцій від нормально розподілених результатів спостережень і використовуються для побудови довірчих інтервалів і статистичних критеріїв.

Так, наприклад, для незалежних випадкових величин x₁, x₂ ..., x_n з однаковим нормальним розподілом з математичним сподіванням а і дисперсією δ² відношення s²/δ² ,
де $s=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-x_{cp}{)}^2}{n-1}}$, $x_{cp}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$
підкоряється χ²-розподілу з n - 1 ступенями вільності при будь-яких значеннях а і δ2. Цей результат покладений в основу побудови довірчих інтервалів і критерію для перевірки гіпотези про невідоме значення дисперсії у разі, коли середнє значення випадкової величини також невідоме (перевірка статистичних гіпотез і інтервальна статистична оцінка).

Особливу популярність у зв'язку з хі-квадрат розподілом отримав критерій хі-квадрат, заснований на так званій хі-квадрат статистиці Пірсона. Є детальні таблиці χ²-розподілу, зручні для статистичних розрахунків. При великих обсягах вибірок використовують апроксимацію за допомогою нормального розподілу. При $n\to \mathrm{\infty }$, згідно з центральною граничною теоремою, розподіл нормальної величини прагне до нормального розподілу.

Вперше χ²-розподіл було розглянуто Р.Хельмертом (1876) і Карлом Пірсоном (1900).

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• William G. Cochran, Annals Math. Stat. 23 (1952), 315-345