Критерій узгодженості Пірсона

Файл:Критерій Пірсона.jpg

Критерій узгодженості Пірсона — один з найвідоміших критеріїв ${\chi }^2$, тому його часто і називають просто «критерій хі-квадрат». Використовується для перевірки гіпотези про закон розподілу.

Ґрунтується на групованих даних. Область значень передбачуваного розподілу ${ϝ}_1$ ділять на деяке число інтервалів.
Після чого будують функцію відхилення ρ по різницях теоретичних імовірностей потрапляння в інтервали групування й емпіричних частот.

Нехай X=(X₁,…, X_n) — вибірка з розподілу $ϝ$. Перевіряється проста гіпотеза $H_1=ϝ={ϝ}_1$ проти складної альтернативи $H_2=ϝ\ne {ϝ}_1$.
Нехай A₁,…, A_k — інтервали групування в області значень випадкової величини з розподілом ${ϝ}_1$.
Позначимо для j=1,…,k через ${\nu }_j$ число елементів вибірки, що потрапили в інтервал $A_j$:
${\nu }_j=(X_i\in A_j)=\sum _{i=1}^{n}I(X_i\in A_j)$,

і через $p_j>0$ — теоретичну ймовірність $P_{H1}(X_1\in A_j)$ попадання в інтервал $A_j$ випадкової величини з розподілом ${ϝ}_1$.
З необхідністю, $p_1+...+p_k=1$.
Як правило, довжини інтервалів вибирають так, щоб $p_1=...=p_k=\frac{1}{k}$.
Нехай $\rho (X)=\sum _{j=1}^k\frac{({\nu }_j-n{p}_j{)}^2}{n{p}_j}$ (1).

Зауваження

Якщо розподіл вибірки ${ϝ}_2\ne {ϝ}_1$ має такі ж, як в ${ϝ}_1$, імовірності $p_j$ попадання в кожний з інтервалів $A_l$, то по даній функції $\rho$ці розподіли розрізнити неможливо.
Тому насправді критерій, який ми побудуємо по функції $\rho$з (1), вирішує зовсім інше завдання. А саме, нехай заданий набір імовірностей $p_1,...,p_k$ такий, що $p_1+...+p_k=1$. Критерій ${\chi }^2$ призначений для перевірки складної гіпотези H₂^'={розподіл Х₁ має властивість: Р(Х₁ ∈ А_j)=p_j для всіх j=1,…,k} проти складної альтернативи H₂^'={H₁^' невірна}, тобто H₂^'={хоча б для одного з інтервалів ймовірність P(X₁ ∈ А_j) відізняється від p_j}

Правило критерію

Перед тим, як сформулювати правило прийняття або відкидання гіпотези необхідно врахувати, що критерій Пірсона має правобічну критичну область. Шаблон:Mbox

Теорема Пірсона

Якщо вірна гіпотеза H₁^', то при фіксованому k й при $n\to \mathrm{\infty }$: $\rho (X)=\sum _{j=1}^k\frac{({\nu }_j-n{p}_j{)}^2}{n{p}_j}\Rightarrow H_{k-1},$

де, нагадаємо,$H_{k-1},$ є ${\chi }^2$-розподіл зі $k-1$ ступенем вільності.

Зауваження

Насправді критерій ${\chi }^2$ застосовують і для розв'язку первісного завдання про перевірку гіпотези $H_1=ϝ={ϝ}_1$. Необхідно тільки пам'ятати, що цей критерій недостатній для альтернатив з тими ж імовірностями попадання в інтервали розбиття, що й в ${ϝ}_1$. Тому беруть велику кількість інтервалів розбиття — чим більше, тим краще, щоб «зменшити» число альтернатив, нерозрізнених з передбачуваним розподілом.

Критерій Пірсона для перевірки параметричної гіпотези

Критерій ${\chi }^2$ часто застосовують для перевірки гіпотези про вид розподілу, тобто про приналежність розподілу вибірки деякому параметричному сімейству. Є вибірка $X=(X_1,...,X_n)$ з невідомого розподілу$ϝ$ .
Перевіряється складна гіпотеза: $H_1=ϝ\in {ϝ}_{\theta }$,

де $\theta ϵ\mathrm{\Theta }\subseteq {ℝ}^l$ — невідомий параметр (скалярний або векторний), l- його розмірність.
Нехай $ℝ$ розбите на k>lінтервалів $A_1\cup ...\cup A_k$, і ${\nu }_j$ — число елементів вибірки, що потрапили в$A_j$. Але ймовірність $p_j=P_{H1}(X_1\in A_j)=p_j(\theta )$ тепер залежить від невідомого параметра .
Функція відхилення (1) також залежить від невідомого параметра, і використовувати її в критерії Пірсона не можна — ми не можемо обчислити її значення: $\rho (X,\theta )=\sum _{j=1}^k\frac{({\nu }_j-n{p}_j(\theta ){)}^2}{n{p}_j(\theta )}$(2.)
Нехай $\hat{\theta }=\hat{\theta }(X)$- значення параметра $\theta$, що доставляє мінімум функції $\rho (X,\theta )$ при даній вибірці X .
Підставивши замість дійсних імовірностей p_jїх оцінки $p_j(\hat{\theta })$ , одержимо функцію відхилення:$\rho (X,\hat{\theta })=\sum _{j=1}k\frac{({\nu }_j-n{p}_j(\hat{\theta }){)}^2}{n{p}_j(\hat{\theta })}$.

Див. також

• Критерій узгодженості Колмогорова

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, Физматлит. — 1973. — 899 с. Шаблон:Ref-ru