Статистичний критерій

Статистичний критерій — строге математичне правило, за яким приймається або відкидається та або інша статистична гіпотеза. Побудовою критерію є вибір відповідної функції від результатів спостережень (ряду емпірично набутих значень ознаки), яка служить для виявлення міри розбіжності між емпіричними значеннями і гіпотетичними.

Визначення

Нехай дано вибірку $𝐗=(X_1,\dots ,X_n)$ з невідомо сумісного розподілу ${\mathbb{P}}^{𝐗}$, і сім'я статистичних гіпотез $H_0,H_1,\dots$. Тоді статистичним критерієм називається функція, що встановлює відповідність між величинами, що спостерігаються, і можливими гіпотезами:

$f:{ℝ}^n\to \{H_0,H_1,\dots \}$.

Таким чином кожній реалізації вибірки $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ статистичний критерій зіставляє найбільш відповідну з точки зору цього критерію гіпотезу про розподіл, що породив дану реалізацію.

Види критеріїв

Статистичні критерії підрозділяють на такі категорії:

• Критерій значущості. Перевірка за значущістю припускає перевірку гіпотези про числові значення відомого закону розподілу:

$H_0:a=a_0$ — нульова гіпотеза.

$H_1:a>a_0(a<a_0)$ або $a\ne a_0$ — Шаблон:Нп, що конкурує.

• Критерій узгодженості. Перевірка на узгодженість має на увазі, що випадкова величина, що досліджується, підкорюється закону, що розглядається. Критерій узгодженості можна також сприймати, як критерій значущості.
• Критерій однорідності. При перевірці на однорідність випадкові величини досліджуються на факт взаємної відповідності їх законів розподілу (чи підкорюються ці величини одному і тому ж закону). Використовуються у Факторному аналізі для визначення наявності залежностей.

Цей розділ умовний, і часто один і той же критерій може бути використаний в різних якостях.

Основні поняття

• Потужність критерію
• Рівень критерію

Простий приклад

Нехай дано незалежну вибірку $𝐗=(X_1,\dots ,X_n{)}^{\mathrm{\top }}$, де $X_i\sim \mathrm{N}(\mu ,1),i=1,\dots ,n$. Нехай маємо дві прості гіпотези:

$\begin{array}{cc}{H}_0:& \mu =0,\\ H_1:& \mu =1.\end{array}$

Тоді можна визначити наступний статистичний критерій:

$f(x_1,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{cc}{H}_0,& \overline{x}\le 0.5\\ H_1,& \overline{x}>0.5,\end{array}$

де $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ — вибіркове середнє.

Непараметричні критерії

Група статистичних критеріїв, які не включають в розрахунок параметри ймовірнісного розподілу і засновані на оперуванні частотами або рангами:

• Шаблон:Нп
• U-критерій Манна-Уітні
• Критерій Колмогорова
• Шаблон:Нп

Параметричні критерії

Група статистичних критеріїв, які включають в розранунок параметри ймовірнісного розподілу ознаки (середнього і дисперсії)

• t-критерій Стьюдента
• Критерій відношення правдоподібності
• Критерій узгодженості Пірсона

Див. також

• Перевірка статистичних гіпотез
• Послідовний статистичний критерій
• Пермутаційний тест

Примітки

Шаблон:Статистика