Поліноміальний розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей У теорії імовірностей поліноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу. Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей числа успіхів у незалежній схемі випробувань Бернуллі, з тією ж самою імовірністю успіху в кожному випробуванні.

Означення

Нехай $X_1,\dots ,X_n$ — незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що їх розподіл задається функцією імовірності:

$\mathbb{P}(X_i=j)=p_j,j=1,\dots ,k$.

Інтуїтивно подія $\{X_i=j\}$ означає, що дослід з номером $i$ привів до $j$. Нехай випадкова величина $Y_j$ дорівнює кількості дослідів, що приводять до результату $j$:

$Y_j=\sum _{i=1}^n{\mathrm{𝟏}}_{\{X_i=j\}},j=1,\dots ,k$.

Тоді розподіл вектора $𝐘=(Y_1,\dots ,Y_k{)}^{\mathrm{\top }}$ Має функцію імовірності

$p_{𝐘}(𝐲)=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{y_1\dots y_k})p_1^{y_1}\dots p_k^{y_k},& \sum _{j=1}^k{y}_i=n\\ 0,& \sum _{j=1}^k{y}_i=n\end{array},𝐲=(y_1,\dots ,y_k{)}^{\mathrm{\top }}\in {\mathbb{N}}_0^k$,

де

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{y_1\dots y_k})\equiv \frac{n!}{y_1!\dots y_k!}$ —

мультиноміальний коефіцієнт.

Вектор середніх і матриця коваріації

Математичне сподівання випадкової величини $Y_j$ має вигляд: $𝔼[Y_j]=n{p}_j$. Діагональні елементи матриці коваріації $\mathrm{\Sigma }=({\sigma }_{ij})$ є дисперсіями біноміальних випадкових величин, а тому

${\sigma }_{jj}=\mathrm{D}[Y_j]=n{p}_j(1-p_j),j=1,\dots ,k$.

Для інших елементів маємо

${\sigma }_{ij}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(Y_i,Y_j)=-n{p}_i{p}_j,i=j$.

Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює $k-1$.

Див. також

• Біноміальний розподіл
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Функція розподілу ймовірностей

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко