Перелік нерівностей трикутників

У геометрії нерівності трикутників — це нерівності, що включають параметри трикутників. Причому трикутники можуть бути довільними або такими, що задовольняють певні умови. Параметрами в таких нерівностях можуть бути довжини сторін, периметр, площа, міри кутів, значення тригонометричних функцій цих кутів, довжини медіан, висот, бісектрис, серединних перпендикулярів трикутника, радіуси вписаного, зовнівписаного та описаного кіл тощо.

Якщо не вказано інше, у цій статті розглядаються трикутники на площині.

Основні параметри та позначення

Параметри, які найчастіше зустрічаються в нерівностях трикутників:

• Шаблон:Math — довжини сторін;
• Шаблон:Math — півпериметр (половина периметру);
• Шаблон:Math — міри кутів у вершинах, розташованих навпроти відповідних сторін Шаблон:Math і Шаблон:Math (вершини позначаються тими ж символами, що і міри їх кутів);
• Шаблон:Math — площа;
• Шаблон:Math — медіани, проведені до відповідних сторін Шаблон:Math;
• Шаблон:Math — висоти, проведені до відповідних сторін Шаблон:Math;
• Шаблон:Math — бісектриси, проведені до відповідних сторін Шаблон:Math;
• Шаблон:Math — серединні перпендикуляри відповідних сторін Шаблон:Math;
• Шаблон:Math — радіус вписаного кола;
• Шаблон:Math — радіус описаного кола;
• Шаблон:Math — радіуси зовні вписаних кіл, які дотикаються до відповідних сторін Шаблон:Math.

Довжини сторін

Базова нерівність трикутника:

$a⩽b+c,b⩽c+a,c⩽a+b.$

З неї випливає наступна нерівність:

$\max (a,b,c)⩽p.$

Також

$\frac{3}{2}⩽\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2,$

де межа у правій частині є найменшою з можливих,Шаблон:Rp а ліва нерівність, яка виконується для всіх додатних Шаблон:Math, є нерівністю Несбіта.

Інші нерівності для довільних трикутників:

$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)⩽abc;$Шаблон:Rp

$\frac{1}{3}⩽\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c{)}^2}<\frac{1}{2}:$Шаблон:Rp

$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c}⩽\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c};$Шаблон:Rp

$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)⩾0.$Шаблон:Rp

Якщо кут Шаблон:Math тупий (більше 90°), то

$a^2+b^2<c^2;$

Якщо кут Шаблон:Math гострий (менше 90°), то

$a^2+b^2>c^2.$

Якщо центроїд трикутника лежить всередині вписаного кола, то

$a^2<4bc,b^2<4ac,c^2<4ab.$

Кути

Будь-які два кути Шаблон:Math і Шаблон:Math, протилежні сторонам Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно, пов'язані між собою наступним чином:

$A>B$ тоді й лише тоді, коли $a>b.$Шаблон:Rp

Наслідок з теореми про зовнішній кут:

$180^{\circ }-A>\max (B,C).$Шаблон:Rp

Якщо точка Шаблон:Math знаходиться всередині трикутника, то

$\mathrm{\angle }BDC>\mathrm{\angle }A.$Шаблон:Rp

Нерівності трикутників з тригонометричними функціями:

$\cos A+\cos B+\cos C⩽\frac{3}{2};$Шаблон:Rp

$2\sqrt{bc}\cos A+2\sqrt{ca}\cos B+2\sqrt{ab}\cos C⩽a+b+c;$

$\sin A+\sin B+\sin C⩽\frac{3\sqrt{3}}{2};$Шаблон:Rp

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C⩽\frac{9}{4};$Шаблон:Rp

$\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C⩽{\left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)}^3⩽{(\sin \frac{A+B+C}{3})}^3={\sin }^3\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{8}.$Шаблон:Rp

$\sin \frac{A}{2}\cdot \sin \frac{B}{2}\cdot \sin \frac{C}{2}⩽\frac{1}{8};$Шаблон:Rp

${\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{A}{2}+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{B}{2}+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{C}{2}⩾1;$Шаблон:Rp

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}A+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}B+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}C⩾\sqrt{3};$

$(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)⩾\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C;$Шаблон:Rp

${\cos }^4\frac{A}{2}+{\cos }^4\frac{B}{2}+{\cos }^4\frac{C}{2}⩽\frac{p^3}{2abc},$

причому рівність виконується лише у випадку, коли трикутник правильний.Шаблон:Rp

$\max (\sin \frac{A}{2},\sin \frac{B}{2},\sin \frac{C}{2})⩽\frac{1}{2}(1+\sqrt{1-\frac{2r}{R}}),$

причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не меншим за 60°,

$\min (\sin \frac{A}{2},\sin \frac{B}{2},\sin \frac{C}{2})⩾\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-\frac{2r}{R}}),$

причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не більшим за 60°;

$\frac{r}{R}-\sqrt{1-\frac{2r}{R}}⩽\cos A⩽\frac{r}{R}+\sqrt{1-\frac{2r}{R}}$

і аналогічно для кутів Шаблон:Math, причому в першій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений і має кут при вершині не менше 60°, у другій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не більше 60°.

Якщо трикутник гострокутній, то

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C<1;$

Якщо трикутник тупокутній, то

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C>1.$Шаблон:Rp

Якщо трикутник негострокутній, то

$\frac{2R+r}{R}⩽\sqrt{2}(\cos \left(\frac{A-C}{2}\right)+\cos \left(\frac{B}{2}\right)),$

причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли трикутник має прямий кут при вершині Шаблон:Math.

Площа

$a^2+b^2+c^2⩾4S\sqrt{3}$ — Шаблон:Нп,

у якій рівність виконується лише у випадку, коли трикутник правильний. Цю нерівність можна отримати з Шаблон:Нп, яка має наступний вигляд:

$a^2+b^2+c^2⩾(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4S\sqrt{3}.$Шаблон:Rp

$ab+bc+ca⩾4S\sqrt{3};$Шаблон:Rp

$S⩽\frac{abc}{2}\sqrt{\frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3+abc}}⩽\frac{1}{4}\sqrt[6]{\frac{3(a+b+c{)}^3(abc{)}^4}{a^3+b^3+c^3}}⩽\frac{\sqrt{3}}{4}(abc{)}^{\frac{2}{3}}⩽\frac{\sqrt{3}}{9}{p}^2,$

причому нерівність $p^2⩾3S\sqrt{3}$ називається ізопериметричною нерівністю трикутника.

${\pi }^2(R-r{)}^2⩽(a+b+c{)}^2-4\pi S$ — Шаблон:Нп;

$\frac{9abc}{a+b+c}⩾4S\sqrt{3},$

де рівність виконується лише тоді, коли трикутник правильний;Шаблон:RpШаблон:Rp

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{p}{S}.$Шаблон:Rp

$27(b^2+c^2-a^2{)}^2(c^2+a^2-b^2{)}^2(a^2+b^2-c^2{)}^2⩽(4S{)}^6$ — Шаблон:Нп для гострокутного трикутника;

Нехай $S_{inc}$ — площа вписаного кола. Тоді

$\frac{S_{inc}}{S}⩽\frac{\pi }{3\sqrt{3}},$

причому рівність досягається лише тоді, коли трикутник правильний.

Нехай бісектриси внутрішніх кутів Шаблон:Math перетинають відповідні протилежні сторони в точках Шаблон:Math. Тоді

$\frac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)}⩽\frac{S_{DEF}}{S}⩽\frac{1}{4},$

де Шаблон:Math — площа трикутника Шаблон:Math.Шаблон:Rp

Медіани

Оскільки медіани будь-якого трикутника можуть самі утворити інший трикутник, то

$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$Шаблон:Rp

$\frac{3}{4}(a+b+c)<m_a+m_b+m_c<a+b+c;$Шаблон:Rp

${\left(\frac{m_a}{a}\right)}^2+{\left(\frac{m_b}{b}\right)}^2+{\left(\frac{m_c}{c}\right)}^2⩾\frac{9}{4},$

де рівність виконується лише тоді, коли трикутник правильний;Шаблон:Rp

$\frac{m_a{m}_b{m}_c}{m_a^2+m_b^2+m_c^2}⩾r;$Шаблон:Rp

Нехай Шаблон:Math — довжини медіан, продовжених до їх перетину з описаним колом трикутника. Тоді

$\frac{M_a}{m_a}+\frac{M_b}{m_b}+\frac{M_c}{m_c}⩾4.$Шаблон:Rp

Нехай Шаблон:Math — центроїд трикутника Шаблон:Math і продовження відрізків Шаблон:Math і Шаблон:Math перетинають описане коло трикутника в точках Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно. Тоді

$GU+GV+GW⩾AG+BG+CG,$

$GU\cdot GV\cdot GW\ge AG\cdot BG\cdot CG;$Шаблон:Rp

Якщо трикутник гострокутній, то

$m_a^2+m_b^2+m_c^2>6R^2;$

Якщо трикутник тупокутній, то

$m_a^2+m_b^2+m_c^2<6R^2.$Шаблон:Rp

Висоти

$h_a+h_b+h_c⩽\sqrt{3}p,$

$h_a^2+h_b^2+h_c^2⩽\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2);$Шаблон:Rp

$\frac{h_a^2}{(b^2+c^2)}\cdot \frac{h_b^2}{(c^2+a^2)}\cdot \frac{h_c^2}{(a^2+b^2)}⩽{\left(\frac{3}{8}\right)}^3;$Шаблон:Rp

Оскільки обернені висоти будь-якого трикутника можуть утворити трикутник, то

$\frac{1}{h_a}<\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c},\frac{1}{h_b}<\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_a},\frac{1}{h_c}<\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}.$

Бісектриси

Нерівність між висотою, бісектрисою та медіаною:Шаблон:Rp

$h_a⩽t_a⩽m_a.$

Кути і бісектриси пов'язані наступною нерівністю:

Якщо $A>B$, то $t_a<t_b.$

$t_a+t_b+t_c⩽3p;$Шаблон:Rp

$\frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c}⩾1+\frac{4r}{R};$Шаблон:Rp

$\sqrt{m_a}+\sqrt{m_b}+\sqrt{m_c}⩾\sqrt{t_a}+\sqrt{t_b}+\sqrt{t_c};$Шаблон:Rp

Нехай Шаблон:Math — продовження відповідних бісектрис Шаблон:Math до перетину з описаним колом трикутника. Тоді

$T_a{T}_b{T}_c⩾\frac{8\sqrt{3}}{9}abc,$Шаблон:Rp

$T_a+T_b+T_c⩽5R+2r,$Шаблон:Rp

причому рівність в обох нерівностях досягається лише тоді, коли трикутник правильний;

$T_a+T_b+T_c⩾\frac{4}{3}(t_a+t_b+t_c);$Шаблон:Rp

Нехай Шаблон:Math — центр вписаного кола трикутника. Тоді

$6r⩽AI+BI+CI⩽\sqrt{12(R^2-Rr+r^2)}.$Шаблон:Rp

Нехай Шаблон:Math — центроїд, Шаблон:Math — центр описаного кола, Шаблон:Math — ортоцентр і Шаблон:Math — центр кола дев'яти точок. Тоді для неправильних трикутників справедливі наступні нерівності:

$IG<HG,$

$IH<HG,$

$IG<IO,$

$IN<\frac{1}{2}IO,$

$\mathrm{\angle }IOH<\frac{\pi }{6},$

$IG<\frac{1}{3}\max (m_a,m_b,m_c),$

$\mathrm{\angle }OIH$ > $\mathrm{\angle }GIH>90^{\circ },\mathrm{\angle }OGI>90^{\circ },$

$O{I}^2+I{H}^2<O{H}^2,G{I}^2+I{H}^2<G{H}^2,O{G}^2+G{I}^2<O{I}^2.$

Серединні перпендикуляри

Якщо $a⩾b⩾c,$ то

$\min (p_a,p_c)⩾p_b.$

Відрізки з довільної точки

Нехай Шаблон:Math — довільна точка всередині трикутника. Тоді

$2(PA+PB+PC)>a+b+c>PA+PB+PC,$

$PA+PB+PC⩽a+b$ при умові, що Шаблон:Math — найкоротша сторона трикутника;Шаблон:Rp

$a\cdot PA+b\cdot PB>c\cdot PC$ — Шаблон:Нп;

$(b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC⩾8S;$Шаблон:Rp

$\frac{PA}{a}+\frac{PB}{b}+\frac{PC}{c}⩾\sqrt{3}.$Шаблон:Rp

Нехай Шаблон:Math — основи перпендикулярів опущених з точки Шаблон:Math на сторони Шаблон:Math відповідно. Тоді

$PA\cdot PB\cdot PC⩾(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD),$Шаблон:Rp

$\frac{PA+PB+PC}{PD+PE+PF}⩾2$ — нерівність Ердеша — Морделла,

$\frac{P{A}^2}{PE\cdot PF}+\frac{P{B}^2}{PF\cdot PD}+\frac{P{C}^2}{PD\cdot PE}⩾12,$

$\frac{PA}{\sqrt{PE\cdot PF}}+\frac{PB}{\sqrt{PF\cdot PD}}+\frac{PC}{\sqrt{PD\cdot PE}}⩾6,$

$\frac{PA}{PE+PF}+\frac{PB}{PF+PD}+\frac{PC}{PD+PE}⩾3.$Шаблон:Rp

Нехай Шаблон:Math — точки, де бісектриси кутів $\mathrm{\angle }BPC,\mathrm{\angle }CPA,\mathrm{\angle }APB$ перетинають сторони Шаблон:Math відповідно. Тоді

$\frac{PA+PB+PC}{PU+PV+PW}⩾2$ — нерівність Берроу.

Нехай Шаблон:Math — основи перпендикулярів опущених з точки Шаблон:Math на сторони тангенціального трикутника (трикутника, утвореного дотичними до описаного кола трикутника Шаблон:Math). Тоді

$\frac{PH+PK+PL}{PD+PE+PF}⩾2,$

$\frac{PH}{a^2}+\frac{PK}{b^2}+\frac{PL}{c^2}⩾\frac{1}{R}.$

Нехай Шаблон:Math — центроїд, Шаблон:Math — середини сторін. Тоді

$2(PL+PM+PN)⩽3PG+PA+PB+PC⩽p+2(PL+PM+PN),$Шаблон:RpШаблон:Rp

$PA+PB+PC⩽2(PD+PE+PF)+3PG.$

Нехай Шаблон:Math — додатні дійсні числа. Якщо $t\in (0,1]$, то

${\lambda }_1\cdot (PA{)}^t+{\lambda }_2\cdot (PB{)}^t+{\lambda }_3\cdot (PC{)}^t⩾2^t\sqrt{{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3}(\frac{(PD{)}^t}{\sqrt{{\lambda }_1}}+\frac{(PE{)}^t}{\sqrt{{\lambda }_2}}+\frac{(PF{)}^t}{\sqrt{{\lambda }_3}}),$

якщо $t>1$, то

${\lambda }_1\cdot (PA{)}^t+{\lambda }_2\cdot (PB{)}^t+{\lambda }_3\cdot (PC{)}^t⩾2\sqrt{{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3}(\frac{(PD{)}^t}{\sqrt{{\lambda }_1}}+\frac{(PE{)}^t}{\sqrt{{\lambda }_2}}+\frac{(PF{)}^t}{\sqrt{{\lambda }_3}}).$

Нерівності з радіусом вписаного кола:

$PA+PB+PC⩾6r;$

$P{A}^3+P{B}^3+P{C}^3+k\cdot (PA\cdot PB\cdot PC)⩾8(k+3)r^3$ для Шаблон:Math,

$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2+(PA\cdot PB\cdot PC{)}^{2/3}⩾16r^2,$

$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2+2(PA\cdot PB\cdot PC{)}^{2/3}⩾20r^2,$

$P{A}^4+P{B}^4+P{C}^4+k(PA\cdot PB\cdot PC{)}^{4/3}⩾16(k+3)r^4$ для Шаблон:Math.

Нерівності з радіусом описаного кола:

$(PA\cdot PB{)}^{3/2}+(PB\cdot PC{)}^{3/2}+(PC\cdot PA{)}^{3/2}⩾12R{r}^2,$

$(PA\cdot PB{)}^2+(PB\cdot PC{)}^2+(PC\cdot PA{)}^2⩾8(R+r)R{r}^2,$

$(PA\cdot PB{)}^2+(PB\cdot PC{)}^2+(PC\cdot PA{)}^2⩾48r^4,$

$(PA\cdot PB{)}^2+(PB\cdot PC{)}^2+(PC\cdot PA{)}^2⩾6(7R-6r)r^3.$

Радіуси вписаного, зовнівписаного та описаного кіл

Радіуси вписаного та описаного кіл

$\frac{R}{r}⩾\frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc}⩾\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1⩾\frac{2}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})⩾2,$

причому нерівність $R⩾2r$ називається нерівністю Ейлера.

$r(r+4R)⩾S\sqrt{3},$

$r+4R⩾p\sqrt{3};$Шаблон:Rp

$p^2⩾16Rr-5r^2;$Шаблон:Rp

$2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)d⩽p^2⩽2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)d,$

де $d=\sqrt{R^2-2Rr}$ — відстань між центрами вписаного й описаного кіл; причому в першій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений і має кут при вершині не менше 60°, в другій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не більше 60°.Шаблон:Rp

$\frac{9r}{2S}⩽\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}⩽\frac{9R}{4S};$Шаблон:Rp

Радіус описаного кола та інші довжини

$a+b+c⩽3R\sqrt{3},$

$a^2+b^2+c^2⩽9R^2,$

$h_a+h_b+h_c⩽3R\sqrt{3},$

$m_a^2+m_b^2+m_c^2⩽\frac{27}{4}{R}^2.$Шаблон:Rp

$p⩽(3\sqrt{3}-4)r+2R$ — нерівність Бландона;

$R⩾2B_1{B}_2,$ де Шаблон:Math — перша і друга точки Брокара відповідно.

Радіуси вписаного і зовнівписаного кіл та інші довжини

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}⩽\frac{\sqrt{3}}{2r},$

$9r⩽h_a+h_b+h_c,$

$6r⩽\sqrt{r_a^2+r_b^2+r_c^2}.$Шаблон:Rp

Прямокутний трикутник

Нехай Шаблон:Math — гіпотенуза прямокутного трикутника, Шаблон:Math та Шаблон:Math — його катети. Тоді

$a+b⩽c\sqrt{2},$

$2r⩽c(\sqrt{2}-1),$

$h_c⩽\frac{a+b}{2\sqrt{2}}.$Шаблон:Rp

Вписані фігури

Вписаний шестикутник

Нехай Шаблон:Math — півпериметр шестикутника утвореного дотичними до вписаного кола трикутника так, що три його сторони збігаються з частинами сторін трикутника, а інші сторони паралельні відповідним сторонам трикутника. Тоді

$p_{hex}⩽\frac{2}{3}p.$Шаблон:Rp

Вписаний трикутник

Нехай точки Шаблон:Math, які лежать на відповідних сторонах Шаблон:Math трикутника Шаблон:Math, є вершинами трикутника, який розбиває заданий трикутник на чотири трикутники, які мають площі Шаблон:Math відповідно. Тоді

$S_{DEF}⩾\min (S_{BED},S_{CFE},S_{ADF}).$

Рівність виконується коли точки Шаблон:Math утворюють серединний трикутник.

Вписані квадрати

Нехай у гострокутний трикутник вписано три квадрати, у кожного з яких одна сторона збігається з частиною сторони заданого трикутника, а дві інші вершини квадрата лежать на двох інших сторонах трикутника (прямокутний трикутник має лише два різних вписаних квадрати). Якщо один з цих квадратів має довжину сторони Шаблон:Math, а інший — Шаблон:Math, причому $x_a⩽x_b,$ то

$1⩾\frac{x_a}{x_b}⩾\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0.94.$

Лінія Ейлера

Лінія Ейлера трикутника проходить через його ортоцентр, центр описаного кола, центроїд, але не проходить через його центр вписаного кола, якщо трикутник не є рівнобедреним. Для не рівнобедрених трикутників відстань Шаблон:Math від центру вписаного кола до лінії Ейлера задовольняє наступним нерівностям:

$\frac{d}{p}<\frac{d}{\max (a,b,c)}<\frac{d}{\max (m_a,m_b,m_c)}<\frac{1}{3}.$

Причому межа Шаблон:Math є найменшою з можливих.

Два трикутники

Шаблон:Нп для двох трикутників, де один має сторони Шаблон:Math та площу Шаблон:Math, а інший — сторони Шаблон:Math та площу Шаблон:Math, стверджує, що

$d^2(b^2+c^2-a^2)+e^2(a^2+c^2-b^2)+f^2(a^2+b^2-c^2)⩾16ST,$

причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли задані трикутники подібні.

Шаблон:Нп стверджує, що якщо дві сторони одного трикутника конгруентні двом сторонам іншого трикутника, причому прилеглий кут першого більший за прилеглий кут другого, то третя сторона першого трикутника довша за третю сторону другого трикутника. Тобто, у трикутниках Шаблон:Math і Шаблон:Math зі сторонами Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно (де сторона Шаблон:Math навпроти кута Шаблон:Math і т. д.), якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math і Шаблон:Math, то

$c>f.$

Зворотне також справедливе: якщо $c>f$, то $C>F$.

Кути двох трикутників Шаблон:Math і Шаблон:Math пов'язані нерівністю з їх котангенсами:

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}A(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}E+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}F)+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}B(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}F+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}D)+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}C(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}D+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}E)⩾2,$

причому рівність виконується лише тоді, коли задані трикутники подібні.

Неевклідові трикутники

Для кутів сферичного трикутника справджується нерівність

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C>180^{\circ },$

а для гіперболічного трикутника навпаки —

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C<180^{\circ }.$

Див. також

• Описаний многокутник