Нерівність Ердеша — Морделла

Нерівність Ердеша-Морделла — наступна нерівність:

Якщо $P$ точка всередині трикутника $ABC$, а $X,Y,Z$ основи перпендикулярів опущених з точки $P$ на сторони $BC,AC,AB$ відповідно, то

$AP+BP+CP\ge 2(PX+PY+PZ)$

Про нерівність

Нерівність вперше була сформульована Палом Ердешем у журналі American Mathematical Monthly у 1935 році і у цьому ж році була доведена Морделлом. Найвідоміші доведення - це доведення Андже Авеза через теорему птолемея, Леона Банко через подібність трикутників і обрахунок кутів, Вілмоса Коморніка через площі, а також Луіса Морделла із використанням тригонометрії.

Доведення

Для початку доведемо нерівність $AP\ge \frac{AB}{BC}PY+\frac{AC}{BC}PZ$ (єдина різниця між доведеннями перечисленими вище є, як вони доводять цю нерівність). Наведемо класичне доведення цієї нерівності.

Застосувавши теорему синусів, до нерівності $AP\ge \frac{AB}{BC}PY+\frac{AC}{BC}PZ$ отримаємо,

$AP\sin \alpha \ge PY\sin \gamma +PZ\sin \beta$

остання нерівність негайно слідує, з того, що величина проєкції відрізку $YZ$ на пряму $BC$ не перевищуватиме величину самого відрізка.

Аналогічно можна довести, що $BP\ge \frac{AB}{AC}PX+\frac{BC}{AC}PZ$ та $CP\ge \frac{AC}{AB}PX+\frac{BC}{AB}PY$, додавши три нерівності і застосувавши між нерівність Коші, для двох елементів отримаємо

$\begin{array}{cc}AP+BP+CP& \ge 2(PX(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB})+PY(\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB})+PZ(\frac{BC}{AC}+\frac{AC}{BC}))\\ & \ge 2(AB+BC+AC).\\ \end{array}$

Схожі нерівності

Часто на математичних олімпіадах пропонують нерівності, які схожі на нерівність Ердеша Морделла тобто теж пов'язують величини $PX,PY,PZ,AP,BP,CP.$

Зокрема нерівність, що була доведена Луісом Морделлом у 1962:

$AP\cdot BP\cdot CP\ge (PX+PY)(PY+PZ)(PX+PY)$

Такі нерівності часто доводять використовуючи, що

$AP\ge \frac{AB}{BC}PY+\frac{AC}{BC}PZ$ і $AP\ge \frac{BC}{AB}PY+\frac{BC}{AC}PZ.$

Класичні нерівності в трикутнику

Перша нерівність була доведена нами раніше, доведемо другу.

Нехай $H_A,H_B,H_C$ основи перпендикулярів опущених, з вершин $A,B,C$ на сторони $BC,AC,AB$. $S$ — площа трикутника.

Зауважимо, що $AP+PX\ge A{H}_A$ і $\frac{1}{2}A{H}_A\cdot BC=S=\frac{1}{2}PX\cdot BC+\frac{1}{2}PY\cdot AC+\frac{1}{2}PZ\cdot AB$ отримавши з останнього $A{H}_A$ і поклавши його в перше отримаємо

$AP\ge \frac{BC}{AB}PY+\frac{BC}{AC}PZ.$

Джерела

• Шаблон:Cite book